Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35112 / 102967
↖ ↑ ↗
← S 71.122992°
W 83.562011°		 ← 98.80 m → S 71.122992°
W 83.559265°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.123880°
W 83.562011°		 ← 98.79 m →
9 762 m²		 S 71.123880°
W 83.559265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267887115478516 y=0.785579681396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267887115478516 × 217)
    floor (0.267887115478516 × 131072)
    floor (35112.5)     		tx = 35112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785579681396484 × 217)
    floor (0.785579681396484 × 131072)
    floor (102967.5)     		ty = 102967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35112 / 102967 ti = "17/35112/102967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35112/102967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35112 ÷ 217
    35112 ÷ 131072     		x = 0.26788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102967 ÷ 217
    102967 ÷ 131072     		y = 0.785575866699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.4642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45843223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785575866699219 × 2 - 1) × π
    -0.571151733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79432608967832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45843223} λ = -1.45843223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79432608967832))-π/2
    2×atan(0.166239445083976)-π/2
    2×0.164732973585524-π/2
    0.329465947171047-1.57079632675     		φ = -1.24133038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45843223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.562011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24133038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.122992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35112 KachelY 102967 -1.45843223 -1.24133038 -83.562011 -71.122992
    Oben rechts KachelX + 1 35113 KachelY 102967 -1.45838430 -1.24133038 -83.559265 -71.122992
    Unten links KachelX 35112 KachelY + 1 102968 -1.45843223 -1.24134589 -83.562011 -71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 35113 KachelY + 1 102968 -1.45838430 -1.24134589 -83.559265 -71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24133038--1.24134589) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24133038--1.24134589) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45843223--1.45838430) × cos(-1.24133038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323537745262547 × 6371000     		do = 98.7961426750548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45843223--1.45838430) × cos(-1.24134589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 98.7916612314713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24133038)-sin(-1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323537745262547-0.323523069424875)×R²
    abs(-1.45838430--1.45843223)×1.46758376721179e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46758376721179e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46758376721179e-05×40589641000000     		ar = 9762.24137452782m²