Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35111 / 102970
↖ ↑ ↗
← S 71.125657°
W 83.564758°		 ← 98.80 m → S 71.125657°
W 83.562011°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.126546°
W 83.564758°		 ← 98.80 m →
9 763 m²		 S 71.126546°
W 83.562011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267879486083984 y=0.785602569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267879486083984 × 217)
    floor (0.267879486083984 × 131072)
    floor (35111.5)     		tx = 35111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785602569580078 × 217)
    floor (0.785602569580078 × 131072)
    floor (102970.5)     		ty = 102970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35111 / 102970 ti = "17/35111/102970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35111/102970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35111 ÷ 217
    35111 ÷ 131072     		x = 0.267875671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102970 ÷ 217
    102970 ÷ 131072     		y = 0.785598754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267875671386719 × 2 - 1) × π
    -0.464248657226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.45848017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785598754882812 × 2 - 1) × π
    -0.571197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79446990037718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45848017} λ = -1.45848017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79446990037718))-π/2
    2×atan(0.16621553979216)-π/2
    2×0.164709711073649-π/2
    0.329419422147298-1.57079632675     		φ = -1.24137690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45848017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.564758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24137690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.125657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35111 KachelY 102970 -1.45848017 -1.24137690 -83.564758 -71.125657
    Oben rechts KachelX + 1 35112 KachelY 102970 -1.45843223 -1.24137690 -83.562011 -71.125657
    Unten links KachelX 35111 KachelY + 1 102971 -1.45848017 -1.24139241 -83.564758 -71.126546
    Unten rechts KachelX + 1 35112 KachelY + 1 102971 -1.45843223 -1.24139241 -83.562011 -71.126546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24137690--1.24139241) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dl = 98.8142100006841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24137690--1.24139241) × R
    1.55100000001074e-05 × 6371000     		dr = 98.8142100006841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45848017--1.45843223) × cos(-1.24137690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323493726978358 × 6371000     		do = 98.8033109476581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45848017--1.45843223) × cos(-1.24139241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323479050907266 × 6371000     		du = 98.7988284977847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24137690)-sin(-1.24139241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323493726978358-0.323479050907266)×R²
    abs(-1.45843223--1.45848017)×1.46760710915683e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46760710915683e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46760710915683e-05×40589641000000     		ar = 9762.94965215462m²