Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35111 / 102969
↖ ↑ ↗
← S 71.124769°
W 83.564758°		 ← 98.81 m → S 71.124769°
W 83.562011°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.125657°
W 83.564758°		 ← 98.80 m →
9 757 m²		 S 71.125657°
W 83.562011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267879486083984 y=0.785594940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267879486083984 × 217)
    floor (0.267879486083984 × 131072)
    floor (35111.5)     		tx = 35111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785594940185547 × 217)
    floor (0.785594940185547 × 131072)
    floor (102969.5)     		ty = 102969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35111 / 102969 ti = "17/35111/102969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35111/102969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35111 ÷ 217
    35111 ÷ 131072     		x = 0.267875671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102969 ÷ 217
    102969 ÷ 131072     		y = 0.785591125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267875671386719 × 2 - 1) × π
    -0.464248657226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.45848017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785591125488281 × 2 - 1) × π
    -0.571182250976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79442196347756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45848017} λ = -1.45848017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79442196347756))-π/2
    2×atan(0.166223507840786)-π/2
    2×0.164717464892555-π/2
    0.32943492978511-1.57079632675     		φ = -1.24136140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45848017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.564758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24136140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.124769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35111 KachelY 102969 -1.45848017 -1.24136140 -83.564758 -71.124769
    Oben rechts KachelX + 1 35112 KachelY 102969 -1.45843223 -1.24136140 -83.562011 -71.124769
    Unten links KachelX 35111 KachelY + 1 102970 -1.45848017 -1.24137690 -83.564758 -71.125657
    Unten rechts KachelX + 1 35112 KachelY + 1 102970 -1.45843223 -1.24137690 -83.562011 -71.125657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24136140--1.24137690) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24136140--1.24137690) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45848017--1.45843223) × cos(-1.24136140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323508393509377 × 6371000     		do = 98.8077904837478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45848017--1.45843223) × cos(-1.24137690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323493726978358 × 6371000     		du = 98.8033109476581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24136140)-sin(-1.24137690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323508393509377-0.323493726978358)×R²
    abs(-1.45843223--1.45848017)×1.46665310187255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46665310187255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46665310187255e-05×40589641000000     		ar = 9757.0975360773m²