Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35110 / 103147
↖ ↑ ↗
← S 71.282292°
W 83.567505°		 ← 98.01 m → S 71.282292°
W 83.564758°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.283174°
W 83.567505°		 ← 98.01 m →
9 604 m²		 S 71.283174°
W 83.564758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267871856689453 y=0.786952972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267871856689453 × 217)
    floor (0.267871856689453 × 131072)
    floor (35110.5)     		tx = 35110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786952972412109 × 217)
    floor (0.786952972412109 × 131072)
    floor (103147.5)     		ty = 103147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35110 / 103147 ti = "17/35110/103147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35110/103147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35110 ÷ 217
    35110 ÷ 131072     		x = 0.267868041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103147 ÷ 217
    103147 ÷ 131072     		y = 0.786949157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267868041992188 × 2 - 1) × π
    -0.464263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45852811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786949157714844 × 2 - 1) × π
    -0.573898315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.80295473160993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45852811} λ = -1.45852811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80295473160993))-π/2
    2×atan(0.164811195227239)-π/2
    2×0.163342812452656-π/2
    0.326685624905312-1.57079632675     		φ = -1.24411070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45852811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.567505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24411070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.282292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35110 KachelY 103147 -1.45852811 -1.24411070 -83.567505 -71.282292
    Oben rechts KachelX + 1 35111 KachelY 103147 -1.45848017 -1.24411070 -83.564758 -71.282292
    Unten links KachelX 35110 KachelY + 1 103148 -1.45852811 -1.24412608 -83.567505 -71.283174
    Unten rechts KachelX + 1 35111 KachelY + 1 103148 -1.45848017 -1.24412608 -83.564758 -71.283174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24411070--1.24412608) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24411070--1.24412608) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45852811--1.45848017) × cos(-1.24411070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32090571692526 × 6371000     		do = 98.0128660620639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45852811--1.45848017) × cos(-1.24412608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320891150317898 × 6371000     		du = 98.0084170452309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24411070)-sin(-1.24412608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32090571692526-0.320891150317898)×R²
    abs(-1.45848017--1.45852811)×1.45666073626538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45666073626538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45666073626538e-05×40589641000000     		ar = 9603.66876334806m²