Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3511 / 2771
↖ ↑ ↗
← N 50.205033°
W 25.708008°		 ← 3 127.56 m → N 50.205033°
W 25.664062°		 →
↑
3 128.48 m
↓
↑
3 128.48 m
↓
N 50.176898°
W 25.708008°		 ← 3 129.41 m →
9 787 397 m²		 N 50.176898°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42864990234375 y=0.33831787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42864990234375 × 213)
    floor (0.42864990234375 × 8192)
    floor (3511.5)     		tx = 3511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33831787109375 × 213)
    floor (0.33831787109375 × 8192)
    floor (2771.5)     		ty = 2771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3511 / 2771 ti = "13/3511/2771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3511/2771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3511 ÷ 213
    3511 ÷ 8192     		x = 0.4285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2771 ÷ 213
    2771 ÷ 8192     		y = 0.3382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44868938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3382568359375 × 2 - 1) × π
    0.323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44868938} λ = -0.44868938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01626227194519))-π/2
    2×atan(2.76284866359349)-π/2
    2×1.22351972916142-π/2
    2.44703945832284-1.57079632675     		φ = 0.87624313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44868938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87624313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.205033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3511 KachelY 2771 -0.44868938 0.87624313 -25.708008 50.205033
    Oben rechts KachelX + 1 3512 KachelY 2771 -0.44792239 0.87624313 -25.664062 50.205033
    Unten links KachelX 3511 KachelY + 1 2772 -0.44868938 0.87575208 -25.708008 50.176898
    Unten rechts KachelX + 1 3512 KachelY + 1 2772 -0.44792239 0.87575208 -25.664062 50.176898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87624313-0.87575208) × R
    0.000491049999999937 × 6371000     		dl = 3128.4795499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87624313-0.87575208) × R
    0.000491049999999937 × 6371000     		dr = 3128.4795499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44868938--0.44792239) × cos(0.87624313) × R
    0.000766990000000023 × 0.640042206765847 × 6371000     		do = 3127.5619486782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44868938--0.44792239) × cos(0.87575208) × R
    0.000766990000000023 × 0.640419422818882 × 6371000     		du = 3129.40521239023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87624313)-sin(0.87575208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640042206765847-0.640419422818882)×R²
    abs(-0.44792239--0.44868938)×0.000377216053034868×R²
    0.000766990000000023×0.000377216053034868×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377216053034868×40589641000000     		ar = 9787397.10088014m²