Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35108 / 103149
↖ ↑ ↗
← S 71.284055°
W 83.572998°		 ← 98 m → S 71.284055°
W 83.570251°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.284937°
W 83.572998°		 ← 98 m →
9 603 m²		 S 71.284937°
W 83.570251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267856597900391 y=0.786968231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267856597900391 × 217)
    floor (0.267856597900391 × 131072)
    floor (35108.5)     		tx = 35108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786968231201172 × 217)
    floor (0.786968231201172 × 131072)
    floor (103149.5)     		ty = 103149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35108 / 103149 ti = "17/35108/103149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35108/103149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35108 ÷ 217
    35108 ÷ 131072     		x = 0.267852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103149 ÷ 217
    103149 ÷ 131072     		y = 0.786964416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.46429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.45862398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786964416503906 × 2 - 1) × π
    -0.573928833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.80305060540917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45862398} λ = -1.45862398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80305060540917))-π/2
    2×atan(0.164795394909226)-π/2
    2×0.163327429926006-π/2
    0.326654859852012-1.57079632675     		φ = -1.24414147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45862398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.572998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24414147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.284055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35108 KachelY 103149 -1.45862398 -1.24414147 -83.572998 -71.284055
    Oben rechts KachelX + 1 35109 KachelY 103149 -1.45857604 -1.24414147 -83.570251 -71.284055
    Unten links KachelX 35108 KachelY + 1 103150 -1.45862398 -1.24415685 -83.572998 -71.284937
    Unten rechts KachelX + 1 35109 KachelY + 1 103150 -1.45857604 -1.24415685 -83.570251 -71.284937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24414147--1.24415685) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24414147--1.24415685) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45862398--1.45857604) × cos(-1.24414147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32087657416342 × 6371000     		do = 98.0039651124631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45862398--1.45857604) × cos(-1.24415685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320862007404201 × 6371000     		du = 97.9995160492494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24414147)-sin(-1.24415685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32087657416342-0.320862007404201)×R²
    abs(-1.45857604--1.45862398)×1.4566759218515e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4566759218515e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4566759218515e-05×40589641000000     		ar = 9602.79659268328m²