Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35106 / 47812
↖ ↑ ↗
← S 63.401362°
E 12.843017°		 ← 273.50 m → S 63.401362°
E 12.848511°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 63.403821°
E 12.843017°		 ← 273.48 m →
74 784 m²		 S 63.403821°
E 12.848511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535682678222656 y=0.729560852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535682678222656 × 216)
    floor (0.535682678222656 × 65536)
    floor (35106.5)     		tx = 35106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729560852050781 × 216)
    floor (0.729560852050781 × 65536)
    floor (47812.5)     		ty = 47812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35106 / 47812 ti = "16/35106/47812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35106/47812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35106 ÷ 216
    35106 ÷ 65536     		x = 0.535675048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47812 ÷ 216
    47812 ÷ 65536     		y = 0.72955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535675048828125 × 2 - 1) × π
    0.07135009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22415294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.4591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44232543576825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22415294} λ = 0.22415294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44232543576825))-π/2
    2×atan(0.236377438512689)-π/2
    2×0.232116909888519-π/2
    0.464233819777038-1.57079632675     		φ = -1.10656251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22415294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.843017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10656251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.401362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35106 KachelY 47812 0.22415294 -1.10656251 12.843017 -63.401362
    Oben rechts KachelX + 1 35107 KachelY 47812 0.22424882 -1.10656251 12.848511 -63.401362
    Unten links KachelX 35106 KachelY + 1 47813 0.22415294 -1.10660543 12.843017 -63.403821
    Unten rechts KachelX + 1 35107 KachelY + 1 47813 0.22424882 -1.10660543 12.848511 -63.403821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10656251--1.10660543) × R
    4.29199999998353e-05 × 6371000     		dl = 273.443319998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10656251--1.10660543) × R
    4.29199999998353e-05 × 6371000     		dr = 273.443319998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22415294-0.22424882) × cos(-1.10656251) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447737838820396 × 6371000     		do = 273.501321495419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22415294-0.22424882) × cos(-1.10660543) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447699460851482 × 6371000     		du = 273.477878256309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10656251)-sin(-1.10660543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447737838820396-0.447699460851482)×R²
    abs(0.22424882-0.22415294)×3.83779689139829e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83779689139829e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83779689139829e-05×40589641000000     		ar = 74783.9041868855m²