Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3510 / 4022
↖ ↑ ↗
← N 79.323014°
W141.437988°		 ← 226.32 m → N 79.323014°
W141.427002°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
N 79.320978°
W141.437988°		 ← 226.37 m →
51 236 m²		 N 79.320978°
W141.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107131958007812 y=0.122756958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107131958007812 × 215)
    floor (0.107131958007812 × 32768)
    floor (3510.5)     		tx = 3510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122756958007812 × 215)
    floor (0.122756958007812 × 32768)
    floor (4022.5)     		ty = 4022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3510 / 4022 ti = "15/3510/4022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3510/4022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3510 ÷ 215
    3510 ÷ 32768     		x = 0.10711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4022 ÷ 215
    4022 ÷ 32768     		y = 0.12274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7857666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46855858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12274169921875 × 2 - 1) × π
    0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46855858} λ = -2.46855858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37038381241254))-π/2
    2×atan(10.7014988640792)-π/2
    2×1.47762204152584-π/2
    2.95524408305167-1.57079632675     		φ = 1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46855858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3510 KachelY 4022 -2.46855858 1.38444776 -141.437988 79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 3511 KachelY 4022 -2.46836684 1.38444776 -141.427002 79.323014
    Unten links KachelX 3510 KachelY + 1 4023 -2.46855858 1.38441223 -141.437988 79.320978
    Unten rechts KachelX + 1 3511 KachelY + 1 4023 -2.46836684 1.38441223 -141.427002 79.320978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38444776-1.38441223) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38444776-1.38441223) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46855858--2.46836684) × cos(1.38444776) × R
    0.000191739999999996 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 226.323647003267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46855858--2.46836684) × cos(1.38441223) × R
    0.000191739999999996 × 0.185306835812382 × 6371000     		du = 226.366298023197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38444776)-sin(1.38441223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185306835812382)×R²
    abs(-2.46836684--2.46855858)×3.49147625611779e-05×R²
    0.000191739999999996×3.49147625611779e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.49147625611779e-05×40589641000000     		ar = 51235.8169253611m²