Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35095 / 103415
↖ ↑ ↗
← S 71.517074°
W 83.608704°		 ← 96.83 m → S 71.517074°
W 83.605957°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 71.517945°
W 83.608704°		 ← 96.82 m →
9 376 m²		 S 71.517945°
W 83.605957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267757415771484 y=0.788997650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267757415771484 × 217)
    floor (0.267757415771484 × 131072)
    floor (35095.5)     		tx = 35095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788997650146484 × 217)
    floor (0.788997650146484 × 131072)
    floor (103415.5)     		ty = 103415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35095 / 103415 ti = "17/35095/103415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35095/103415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35095 ÷ 217
    35095 ÷ 131072     		x = 0.267753601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103415 ÷ 217
    103415 ÷ 131072     		y = 0.788993835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267753601074219 × 2 - 1) × π
    -0.464492797851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.45924716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788993835449219 × 2 - 1) × π
    -0.577987670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.81580182070811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45924716} λ = -1.45924716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81580182070811))-π/2
    2×atan(0.162707393914782)-π/2
    2×0.161293956213038-π/2
    0.322587912426077-1.57079632675     		φ = -1.24820841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45924716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.608704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24820841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.517074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35095 KachelY 103415 -1.45924716 -1.24820841 -83.608704 -71.517074
    Oben rechts KachelX + 1 35096 KachelY 103415 -1.45919922 -1.24820841 -83.605957 -71.517074
    Unten links KachelX 35095 KachelY + 1 103416 -1.45924716 -1.24822361 -83.608704 -71.517945
    Unten rechts KachelX + 1 35096 KachelY + 1 103416 -1.45919922 -1.24822361 -83.605957 -71.517945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24820841--1.24822361) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24820841--1.24822361) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45924716--1.45919922) × cos(-1.24820841) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.317022046780023 × 6371000     		do = 96.8266932344881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45924716--1.45919922) × cos(-1.24822361) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.317007630787244 × 6371000     		du = 96.8222902192257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24820841)-sin(-1.24822361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317022046780023-0.317007630787244)×R²
    abs(-1.45919922--1.45924716)×1.44159927791265e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.44159927791265e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.44159927791265e-05×40589641000000     		ar = 9376.40631935784m²