Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35094 / 102942
↖ ↑ ↗
← S 71.100763°
W 83.611450°		 ← 98.93 m → S 71.100763°
W 83.608704°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 71.101653°
W 83.611450°		 ← 98.92 m →
9 788 m²		 S 71.101653°
W 83.608704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267749786376953 y=0.785388946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267749786376953 × 217)
    floor (0.267749786376953 × 131072)
    floor (35094.5)     		tx = 35094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785388946533203 × 217)
    floor (0.785388946533203 × 131072)
    floor (102942.5)     		ty = 102942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35094 / 102942 ti = "17/35094/102942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35094/102942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35094 ÷ 217
    35094 ÷ 131072     		x = 0.267745971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102942 ÷ 217
    102942 ÷ 131072     		y = 0.785385131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267745971679688 × 2 - 1) × π
    -0.464508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45929510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785385131835938 × 2 - 1) × π
    -0.570770263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79312766718782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45929510} λ = -1.45929510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79312766718782))-π/2
    2×atan(0.16643878959939)-π/2
    2×0.164926950997175-π/2
    0.32985390199435-1.57079632675     		φ = -1.24094242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45929510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.611450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24094242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.100763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35094 KachelY 102942 -1.45929510 -1.24094242 -83.611450 -71.100763
    Oben rechts KachelX + 1 35095 KachelY 102942 -1.45924716 -1.24094242 -83.608704 -71.100763
    Unten links KachelX 35094 KachelY + 1 102943 -1.45929510 -1.24095795 -83.611450 -71.101653
    Unten rechts KachelX + 1 35095 KachelY + 1 102943 -1.45924716 -1.24095795 -83.608704 -71.101653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24094242--1.24095795) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24094242--1.24095795) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45929510--1.45924716) × cos(-1.24094242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323904814579169 × 6371000     		do = 98.9288676823405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45929510--1.45924716) × cos(-1.24095795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323890121767474 × 6371000     		du = 98.9243801194559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24094242)-sin(-1.24095795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323904814579169-0.323890121767474)×R²
    abs(-1.45924716--1.45929510)×1.46928116951384e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46928116951384e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46928116951384e-05×40589641000000     		ar = 9787.96141933796m²