Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35091 / 103141
↖ ↑ ↗
← S 71.277003°
W 83.619690°		 ← 98.04 m → S 71.277003°
W 83.616943°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.277885°
W 83.619690°		 ← 98.04 m →
9 613 m²		 S 71.277885°
W 83.616943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267726898193359 y=0.786907196044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267726898193359 × 217)
    floor (0.267726898193359 × 131072)
    floor (35091.5)     		tx = 35091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786907196044922 × 217)
    floor (0.786907196044922 × 131072)
    floor (103141.5)     		ty = 103141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35091 / 103141 ti = "17/35091/103141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35091/103141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35091 ÷ 217
    35091 ÷ 131072     		x = 0.267723083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103141 ÷ 217
    103141 ÷ 131072     		y = 0.786903381347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267723083496094 × 2 - 1) × π
    -0.464553833007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.45943891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786903381347656 × 2 - 1) × π
    -0.573806762695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.80266711021221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45943891} λ = -1.45943891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80266711021221))-π/2
    2×atan(0.164858605271315)-π/2
    2×0.163388968414126-π/2
    0.326777936828253-1.57079632675     		φ = -1.24401839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45943891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.619690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24401839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.277003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35091 KachelY 103141 -1.45943891 -1.24401839 -83.619690 -71.277003
    Oben rechts KachelX + 1 35092 KachelY 103141 -1.45939097 -1.24401839 -83.616943 -71.277003
    Unten links KachelX 35091 KachelY + 1 103142 -1.45943891 -1.24403378 -83.619690 -71.277885
    Unten rechts KachelX + 1 35092 KachelY + 1 103142 -1.45939097 -1.24403378 -83.616943 -71.277885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24401839--1.24403378) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dl = 98.0496900010865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24401839--1.24403378) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dr = 98.0496900010865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45943891--1.45939097) × cos(-1.24401839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320993143387684 × 6371000     		do = 98.0395683540451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45943891--1.45939097) × cos(-1.24403378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320978567765107 × 6371000     		du = 98.0351165837336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24401839)-sin(-1.24403378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320993143387684-0.320978567765107)×R²
    abs(-1.45939097--1.45943891)×1.45756225768956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45756225768956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45756225768956e-05×40589641000000     		ar = 9612.5310377118m²