Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35090 / 48913
↖ ↑ ↗
← S 65.984506°
E 12.755127°		 ← 248.61 m → S 65.984506°
E 12.760620°		 →
↑
248.60 m
↓
↑
248.60 m
↓
S 65.986741°
E 12.755127°		 ← 248.58 m →
61 800 m²		 S 65.986741°
E 12.760620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535438537597656 y=0.746360778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535438537597656 × 216)
    floor (0.535438537597656 × 65536)
    floor (35090.5)     		tx = 35090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746360778808594 × 216)
    floor (0.746360778808594 × 65536)
    floor (48913.5)     		ty = 48913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35090 / 48913 ti = "16/35090/48913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35090/48913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35090 ÷ 216
    35090 ÷ 65536     		x = 0.535430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48913 ÷ 216
    48913 ÷ 65536     		y = 0.746353149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535430908203125 × 2 - 1) × π
    0.07086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22261896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746353149414062 × 2 - 1) × π
    -0.492706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54788248873161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22261896} λ = 0.22261896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54788248873161))-π/2
    2×atan(0.21269788748352)-π/2
    2×0.209574723036552-π/2
    0.419149446073104-1.57079632675     		φ = -1.15164688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22261896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.755127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15164688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.984506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35090 KachelY 48913 0.22261896 -1.15164688 12.755127 -65.984506
    Oben rechts KachelX + 1 35091 KachelY 48913 0.22271484 -1.15164688 12.760620 -65.984506
    Unten links KachelX 35090 KachelY + 1 48914 0.22261896 -1.15168590 12.755127 -65.986741
    Unten rechts KachelX + 1 35091 KachelY + 1 48914 0.22271484 -1.15168590 12.760620 -65.986741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15164688--1.15168590) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dl = 248.596420000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15164688--1.15168590) × R
    3.90200000000007e-05 × 6371000     		dr = 248.596420000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22261896-0.22271484) × cos(-1.15164688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.406983674933228 × 6371000     		do = 248.606580168782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22261896-0.22271484) × cos(-1.15168590) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.406948032372854 × 6371000     		du = 248.584807858027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15164688)-sin(-1.15168590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406983674933228-0.406948032372854)×R²
    abs(0.22271484-0.22261896)×3.56425603741939e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.56425603741939e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.56425603741939e-05×40589641000000     		ar = 61799.9995673165m²