Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3509 / 850
↖ ↑ ↗
← N 80.517603°
W 25.795898°		 ← 805.02 m → N 80.517603°
W 25.751953°		 →
↑
805.29 m
↓
↑
805.29 m
↓
N 80.510360°
W 25.795898°		 ← 805.63 m →
648 526 m²		 N 80.510360°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42840576171875 y=0.10382080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42840576171875 × 213)
    floor (0.42840576171875 × 8192)
    floor (3509.5)     		tx = 3509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10382080078125 × 213)
    floor (0.10382080078125 × 8192)
    floor (850.5)     		ty = 850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3509 / 850 ti = "13/3509/850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3509/850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3509 ÷ 213
    3509 ÷ 8192     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 850 ÷ 213
    850 ÷ 8192     		y = 0.103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103759765625 × 2 - 1) × π
    0.79248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48965081866724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48965081866724))-π/2
    2×atan(12.0570652831898)-π/2
    2×1.48804679868595-π/2
    2.97609359737189-1.57079632675     		φ = 1.40529727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40529727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.517603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3509 KachelY 850 -0.45022336 1.40529727 -25.795898 80.517603
    Oben rechts KachelX + 1 3510 KachelY 850 -0.44945637 1.40529727 -25.751953 80.517603
    Unten links KachelX 3509 KachelY + 1 851 -0.45022336 1.40517087 -25.795898 80.510360
    Unten rechts KachelX + 1 3510 KachelY + 1 851 -0.44945637 1.40517087 -25.751953 80.510360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40529727-1.40517087) × R
    0.00012639999999986 × 6371000     		dl = 805.294399999108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40529727-1.40517087) × R
    0.00012639999999986 × 6371000     		dr = 805.294399999108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(1.40529727) × R
    0.000766990000000023 × 0.164744589298741 × 6371000     		do = 805.023330172127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(1.40517087) × R
    0.000766990000000023 × 0.164869260885774 × 6371000     		du = 805.63253704562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40529727)-sin(1.40517087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164744589298741-0.164869260885774)×R²
    abs(-0.44945637--0.45022336)×0.000124671587033581×R²
    0.000766990000000023×0.000124671587033581×6371000²
    0.000766990000000023×0.000124671587033581×40589641000000     		ar = 648526.075961476m²