Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3509 / 2783
↖ ↑ ↗
← N 49.866317°
W 25.795898°		 ← 3 149.70 m → N 49.866317°
W 25.751953°		 →
↑
3 150.59 m
↓
↑
3 150.59 m
↓
N 49.837983°
W 25.795898°		 ← 3 151.55 m →
9 926 322 m²		 N 49.837983°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42840576171875 y=0.33978271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42840576171875 × 213)
    floor (0.42840576171875 × 8192)
    floor (3509.5)     		tx = 3509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33978271484375 × 213)
    floor (0.33978271484375 × 8192)
    floor (2783.5)     		ty = 2783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3509 / 2783 ti = "13/3509/2783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3509/2783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3509 ÷ 213
    3509 ÷ 8192     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2783 ÷ 213
    2783 ÷ 8192     		y = 0.3397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3397216796875 × 2 - 1) × π
    0.320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00705838721814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00705838721814))-π/2
    2×atan(2.73753638729857)-π/2
    2×1.22056386977456-π/2
    2.44112773954912-1.57079632675     		φ = 0.87033141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87033141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.866317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3509 KachelY 2783 -0.45022336 0.87033141 -25.795898 49.866317
    Oben rechts KachelX + 1 3510 KachelY 2783 -0.44945637 0.87033141 -25.751953 49.866317
    Unten links KachelX 3509 KachelY + 1 2784 -0.45022336 0.86983689 -25.795898 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 3510 KachelY + 1 2784 -0.44945637 0.86983689 -25.751953 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87033141-0.86983689) × R
    0.000494520000000054 × 6371000     		dl = 3150.58692000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87033141-0.86983689) × R
    0.000494520000000054 × 6371000     		dr = 3150.58692000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.87033141) × R
    0.000766990000000023 × 0.644573205580134 × 6371000     		do = 3149.70264398121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.86983689) × R
    0.000766990000000023 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 3151.54975200225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87033141)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644573205580134-0.644951208354603)×R²
    abs(-0.44945637--0.45022336)×0.000378002774468311×R²
    0.000766990000000023×0.000378002774468311×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378002774468311×40589641000000     		ar = 9926321.89149147m²