Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3509 / 2770
↖ ↑ ↗
← N 50.233152°
W 25.795898°		 ← 3 125.72 m → N 50.233152°
W 25.751953°		 →
↑
3 126.63 m
↓
↑
3 126.63 m
↓
N 50.205033°
W 25.795898°		 ← 3 127.56 m →
9 775 854 m²		 N 50.205033°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42840576171875 y=0.33819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42840576171875 × 213)
    floor (0.42840576171875 × 8192)
    floor (3509.5)     		tx = 3509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33819580078125 × 213)
    floor (0.33819580078125 × 8192)
    floor (2770.5)     		ty = 2770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3509 / 2770 ti = "13/3509/2770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3509/2770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3509 ÷ 213
    3509 ÷ 8192     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2770 ÷ 213
    2770 ÷ 8192     		y = 0.338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338134765625 × 2 - 1) × π
    0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01702926233911))-π/2
    2×atan(2.76496855484252)-π/2
    2×1.22376510995358-π/2
    2.44753021990717-1.57079632675     		φ = 0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3509 KachelY 2770 -0.45022336 0.87673389 -25.795898 50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 3510 KachelY 2770 -0.44945637 0.87673389 -25.751953 50.233152
    Unten links KachelX 3509 KachelY + 1 2771 -0.45022336 0.87624313 -25.795898 50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 3510 KachelY + 1 2771 -0.44945637 0.87624313 -25.751953 50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87673389-0.87624313) × R
    0.000490760000000035 × 6371000     		dl = 3126.63196000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87673389-0.87624313) × R
    0.000490760000000035 × 6371000     		dr = 3126.63196000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.87673389) × R
    0.000766990000000023 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 3125.7190200632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.87624313) × R
    0.000766990000000023 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 3127.5619486782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87673389)-sin(0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.44945637--0.45022336)×0.000377147476855688×R²
    0.000766990000000023×0.000377147476855688×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377147476855688×40589641000000     		ar = 9775854.26207208m²