Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3509 / 2702
↖ ↑ ↗
← N 52.106505°
W 25.795898°		 ← 3 001.26 m → N 52.106505°
W 25.751953°		 →
↑
3 002.21 m
↓
↑
3 002.21 m
↓
N 52.079506°
W 25.795898°		 ← 3 003.08 m →
9 013 137 m²		 N 52.079506°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42840576171875 y=0.32989501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42840576171875 × 213)
    floor (0.42840576171875 × 8192)
    floor (3509.5)     		tx = 3509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32989501953125 × 213)
    floor (0.32989501953125 × 8192)
    floor (2702.5)     		ty = 2702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3509 / 2702 ti = "13/3509/2702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3509/2702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3509 ÷ 213
    3509 ÷ 8192     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2702 ÷ 213
    2702 ÷ 8192     		y = 0.329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329833984375 × 2 - 1) × π
    0.34033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06918460912573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06918460912573))-π/2
    2×atan(2.91300329503725)-π/2
    2×1.24011320203117-π/2
    2.48022640406234-1.57079632675     		φ = 0.90943008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90943008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.106505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3509 KachelY 2702 -0.45022336 0.90943008 -25.795898 52.106505
    Oben rechts KachelX + 1 3510 KachelY 2702 -0.44945637 0.90943008 -25.751953 52.106505
    Unten links KachelX 3509 KachelY + 1 2703 -0.45022336 0.90895885 -25.795898 52.079506
    Unten rechts KachelX + 1 3510 KachelY + 1 2703 -0.44945637 0.90895885 -25.751953 52.079506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90943008-0.90895885) × R
    0.000471230000000045 × 6371000     		dl = 3002.20633000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90943008-0.90895885) × R
    0.000471230000000045 × 6371000     		dr = 3002.20633000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.90943008) × R
    0.000766990000000023 × 0.614195603760768 × 6371000     		do = 3001.26269652458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.44945637) × cos(0.90895885) × R
    0.000766990000000023 × 0.614567408510767 × 6371000     		du = 3003.07951794064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90943008)-sin(0.90895885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614195603760768-0.614567408510767)×R²
    abs(-0.44945637--0.45022336)×0.000371804749999094×R²
    0.000766990000000023×0.000371804749999094×6371000²
    0.000766990000000023×0.000371804749999094×40589641000000     		ar = 9013137.26866569m²