Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35087 / 102906
↖ ↑ ↗
← S 71.068711°
W 83.630676°		 ← 99.09 m → S 71.068711°
W 83.627930°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.069602°
W 83.630676°		 ← 99.09 m →
9 817 m²		 S 71.069602°
W 83.627930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267696380615234 y=0.785114288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267696380615234 × 217)
    floor (0.267696380615234 × 131072)
    floor (35087.5)     		tx = 35087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785114288330078 × 217)
    floor (0.785114288330078 × 131072)
    floor (102906.5)     		ty = 102906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35087 / 102906 ti = "17/35087/102906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35087/102906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35087 ÷ 217
    35087 ÷ 131072     		x = 0.267692565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102906 ÷ 217
    102906 ÷ 131072     		y = 0.785110473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267692565917969 × 2 - 1) × π
    -0.464614868164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.45963066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785110473632812 × 2 - 1) × π
    -0.570220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7914019388015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45963066} λ = -1.45963066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7914019388015))-π/2
    2×atan(0.166726265724696)-π/2
    2×0.165206665126805-π/2
    0.330413330253609-1.57079632675     		φ = -1.24038300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45963066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.630676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24038300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.068711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35087 KachelY 102906 -1.45963066 -1.24038300 -83.630676 -71.068711
    Oben rechts KachelX + 1 35088 KachelY 102906 -1.45958272 -1.24038300 -83.627930 -71.068711
    Unten links KachelX 35087 KachelY + 1 102907 -1.45963066 -1.24039855 -83.630676 -71.069602
    Unten rechts KachelX + 1 35088 KachelY + 1 102907 -1.45958272 -1.24039855 -83.627930 -71.069602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24038300--1.24039855) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24038300--1.24039855) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45963066--1.45958272) × cos(-1.24038300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		do = 99.0905022748049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45963066--1.45958272) × cos(-1.24039855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324419316440113 × 6371000     		du = 99.0860097939506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24038300)-sin(-1.24039855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324434025353822-0.324419316440113)×R²
    abs(-1.45958272--1.45963066)×1.47089137096934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47089137096934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47089137096934e-05×40589641000000     		ar = 9816.57939161312m²