Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35086 / 103414
↖ ↑ ↗
← S 71.516204°
W 83.633423°		 ← 96.81 m → S 71.516204°
W 83.630676°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 71.517074°
W 83.633423°		 ← 96.81 m →
9 369 m²		 S 71.517074°
W 83.630676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267688751220703 y=0.788990020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267688751220703 × 217)
    floor (0.267688751220703 × 131072)
    floor (35086.5)     		tx = 35086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788990020751953 × 217)
    floor (0.788990020751953 × 131072)
    floor (103414.5)     		ty = 103414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35086 / 103414 ti = "17/35086/103414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35086/103414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35086 ÷ 217
    35086 ÷ 131072     		x = 0.267684936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103414 ÷ 217
    103414 ÷ 131072     		y = 0.788986206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267684936523438 × 2 - 1) × π
    -0.464630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45967859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788986206054688 × 2 - 1) × π
    -0.577972412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81575388380849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45967859} λ = -1.45967859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81575388380849))-π/2
    2×atan(0.162715193789741)-π/2
    2×0.161301554912689-π/2
    0.322603109825378-1.57079632675     		φ = -1.24819322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45967859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.633423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24819322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.516204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35086 KachelY 103414 -1.45967859 -1.24819322 -83.633423 -71.516204
    Oben rechts KachelX + 1 35087 KachelY 103414 -1.45963066 -1.24819322 -83.630676 -71.516204
    Unten links KachelX 35086 KachelY + 1 103415 -1.45967859 -1.24820841 -83.633423 -71.517074
    Unten rechts KachelX + 1 35087 KachelY + 1 103415 -1.45963066 -1.24820841 -83.630676 -71.517074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24819322--1.24820841) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dl = 96.7754899989279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24819322--1.24820841) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dr = 96.7754899989279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45967859--1.45963066) × cos(-1.24819322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317036453215424 × 6371000     		do = 96.8108949379211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45967859--1.45963066) × cos(-1.24820841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317022046780023 × 6371000     		du = 96.8064957595621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24819322)-sin(-1.24820841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317036453215424-0.317022046780023)×R²
    abs(-1.45963066--1.45967859)×1.44064354007378e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44064354007378e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44064354007378e-05×40589641000000     		ar = 9368.70892857517m²