Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35086 / 102905
↖ ↑ ↗
← S 71.067819°
W 83.633423°		 ← 99.07 m → S 71.067819°
W 83.630676°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
S 71.068711°
W 83.633423°		 ← 99.07 m →
9 821 m²		 S 71.068711°
W 83.630676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267688751220703 y=0.785106658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267688751220703 × 217)
    floor (0.267688751220703 × 131072)
    floor (35086.5)     		tx = 35086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785106658935547 × 217)
    floor (0.785106658935547 × 131072)
    floor (102905.5)     		ty = 102905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35086 / 102905 ti = "17/35086/102905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35086/102905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35086 ÷ 217
    35086 ÷ 131072     		x = 0.267684936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102905 ÷ 217
    102905 ÷ 131072     		y = 0.785102844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267684936523438 × 2 - 1) × π
    -0.464630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45967859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785102844238281 × 2 - 1) × π
    -0.570205688476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79135400190188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45967859} λ = -1.45967859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79135400190188))-π/2
    2×atan(0.166734258256527)-π/2
    2×0.16521444148384-π/2
    0.33042888296768-1.57079632675     		φ = -1.24036744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45967859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.633423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24036744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.067819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35086 KachelY 102905 -1.45967859 -1.24036744 -83.633423 -71.067819
    Oben rechts KachelX + 1 35087 KachelY 102905 -1.45963066 -1.24036744 -83.630676 -71.067819
    Unten links KachelX 35086 KachelY + 1 102906 -1.45967859 -1.24038300 -83.633423 -71.068711
    Unten rechts KachelX + 1 35087 KachelY + 1 102906 -1.45963066 -1.24038300 -83.630676 -71.068711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24036744--1.24038300) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24036744--1.24038300) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45967859--1.45963066) × cos(-1.24036744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324448743648116 × 6371000     		do = 99.0743269913988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45967859--1.45963066) × cos(-1.24038300) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		du = 99.0698325831753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24036744)-sin(-1.24038300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324448743648116-0.324434025353822)×R²
    abs(-1.45963066--1.45967859)×1.47182942934476e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47182942934476e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47182942934476e-05×40589641000000     		ar = 9821.28870859802m²