Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35084 / 103388
↖ ↑ ↗
← S 71.493550°
W 83.638916°		 ← 96.95 m → S 71.493550°
W 83.636169°		 →
↑
96.97 m
↓
↑
96.97 m
↓
S 71.494422°
W 83.638916°		 ← 96.94 m →
9 400 m²		 S 71.494422°
W 83.636169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267673492431641 y=0.788791656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267673492431641 × 217)
    floor (0.267673492431641 × 131072)
    floor (35084.5)     		tx = 35084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788791656494141 × 217)
    floor (0.788791656494141 × 131072)
    floor (103388.5)     		ty = 103388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35084 / 103388 ti = "17/35084/103388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35084/103388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35084 ÷ 217
    35084 ÷ 131072     		x = 0.267669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103388 ÷ 217
    103388 ÷ 131072     		y = 0.788787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.46466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45977447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.57757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81450752441837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45977447} λ = -1.45977447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81450752441837))-π/2
    2×atan(0.162918121833804)-π/2
    2×0.161499242406177-π/2
    0.322998484812353-1.57079632675     		φ = -1.24779784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45977447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.638916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24779784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.493550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35084 KachelY 103388 -1.45977447 -1.24779784 -83.638916 -71.493550
    Oben rechts KachelX + 1 35085 KachelY 103388 -1.45972653 -1.24779784 -83.636169 -71.493550
    Unten links KachelX 35084 KachelY + 1 103389 -1.45977447 -1.24781306 -83.638916 -71.494422
    Unten rechts KachelX + 1 35085 KachelY + 1 103389 -1.45972653 -1.24781306 -83.636169 -71.494422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24779784--1.24781306) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dl = 96.966619999181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24779784--1.24781306) × R
    1.52199999998714e-05 × 6371000     		dr = 96.966619999181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45977447--1.45972653) × cos(-1.24779784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317411412096577 × 6371000     		do = 96.9456154239784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45977447--1.45972653) × cos(-1.24781306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317396979117541 × 6371000     		du = 96.9412072206759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24779784)-sin(-1.24781306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317411412096577-0.317396979117541)×R²
    abs(-1.45972653--1.45977447)×1.44329790360831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44329790360831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44329790360831e-05×40589641000000     		ar = 9400.27492733391m²