Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35084 / 103387
↖ ↑ ↗
← S 71.492678°
W 83.638916°		 ← 96.95 m → S 71.492678°
W 83.636169°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
S 71.493550°
W 83.638916°		 ← 96.95 m →
9 395 m²		 S 71.493550°
W 83.636169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267673492431641 y=0.788784027099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267673492431641 × 217)
    floor (0.267673492431641 × 131072)
    floor (35084.5)     		tx = 35084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788784027099609 × 217)
    floor (0.788784027099609 × 131072)
    floor (103387.5)     		ty = 103387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35084 / 103387 ti = "17/35084/103387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35084/103387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35084 ÷ 217
    35084 ÷ 131072     		x = 0.267669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103387 ÷ 217
    103387 ÷ 131072     		y = 0.788780212402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.46466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.45977447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788780212402344 × 2 - 1) × π
    -0.577560424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.81445958751875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45977447} λ = -1.45977447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81445958751875))-π/2
    2×atan(0.162925931810648)-π/2
    2×0.161506850438553-π/2
    0.323013700877106-1.57079632675     		φ = -1.24778263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45977447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.638916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24778263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.492678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35084 KachelY 103387 -1.45977447 -1.24778263 -83.638916 -71.492678
    Oben rechts KachelX + 1 35085 KachelY 103387 -1.45972653 -1.24778263 -83.636169 -71.492678
    Unten links KachelX 35084 KachelY + 1 103388 -1.45977447 -1.24779784 -83.638916 -71.493550
    Unten rechts KachelX + 1 35085 KachelY + 1 103388 -1.45972653 -1.24779784 -83.636169 -71.493550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24778263--1.24779784) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dl = 96.9029100009828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24778263--1.24779784) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dr = 96.9029100009828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45977447--1.45972653) × cos(-1.24778263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317425835519254 × 6371000     		do = 96.950020708523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45977447--1.45972653) × cos(-1.24779784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317411412096577 × 6371000     		du = 96.9456154239784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24778263)-sin(-1.24779784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317425835519254-0.317411412096577)×R²
    abs(-1.45972653--1.45977447)×1.44234226774898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44234226774898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44234226774898e-05×40589641000000     		ar = 9394.52568913055m²