Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35083 / 103392
↖ ↑ ↗
← S 71.497037°
W 83.641662°		 ← 96.91 m → S 71.497037°
W 83.638916°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
S 71.497908°
W 83.641662°		 ← 96.90 m →
9 390 m²		 S 71.497908°
W 83.638916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267665863037109 y=0.788822174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267665863037109 × 217)
    floor (0.267665863037109 × 131072)
    floor (35083.5)     		tx = 35083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788822174072266 × 217)
    floor (0.788822174072266 × 131072)
    floor (103392.5)     		ty = 103392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35083 / 103392 ti = "17/35083/103392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35083/103392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35083 ÷ 217
    35083 ÷ 131072     		x = 0.267662048339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103392 ÷ 217
    103392 ÷ 131072     		y = 0.788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267662048339844 × 2 - 1) × π
    -0.464675903320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.45982240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.57763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81469927201685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45982240} λ = -1.45982240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81469927201685))-π/2
    2×atan(0.162886885670018)-π/2
    2×0.161468813734912-π/2
    0.322937627469824-1.57079632675     		φ = -1.24785870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45982240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.641662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24785870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.497037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35083 KachelY 103392 -1.45982240 -1.24785870 -83.641662 -71.497037
    Oben rechts KachelX + 1 35084 KachelY 103392 -1.45977447 -1.24785870 -83.638916 -71.497037
    Unten links KachelX 35083 KachelY + 1 103393 -1.45982240 -1.24787391 -83.641662 -71.497908
    Unten rechts KachelX + 1 35084 KachelY + 1 103393 -1.45977447 -1.24787391 -83.638916 -71.497908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24785870--1.24787391) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dl = 96.9029099995682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24785870--1.24787391) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dr = 96.9029099995682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45982240--1.45977447) × cos(-1.24785870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317353698705443 × 6371000     		do = 96.9077696647619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45982240--1.45977447) × cos(-1.24787391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317339274915547 × 6371000     		du = 96.9033651869987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24785870)-sin(-1.24787391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317353698705443-0.317339274915547)×R²
    abs(-1.45977447--1.45982240)×1.44237898967448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44237898967448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44237898967448e-05×40589641000000     		ar = 9390.43147904846m²