Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35080 / 103016
↖ ↑ ↗
← S 71.166486°
W 83.649902°		 ← 98.58 m → S 71.166486°
W 83.647156°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.167372°
W 83.649902°		 ← 98.57 m →
9 715 m²		 S 71.167372°
W 83.647156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267642974853516 y=0.785953521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267642974853516 × 217)
    floor (0.267642974853516 × 131072)
    floor (35080.5)     		tx = 35080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785953521728516 × 217)
    floor (0.785953521728516 × 131072)
    floor (103016.5)     		ty = 103016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35080 / 103016 ti = "17/35080/103016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35080/103016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35080 ÷ 217
    35080 ÷ 131072     		x = 0.26763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103016 ÷ 217
    103016 ÷ 131072     		y = 0.78594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.4647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45996621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.5718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7966749977597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45996621} λ = -1.45996621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7966749977597))-π/2
    2×atan(0.165849422151308)-π/2
    2×0.164353415363494-π/2
    0.328706830726989-1.57079632675     		φ = -1.24208950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45996621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.649902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24208950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.166486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35080 KachelY 103016 -1.45996621 -1.24208950 -83.649902 -71.166486
    Oben rechts KachelX + 1 35081 KachelY 103016 -1.45991828 -1.24208950 -83.647156 -71.166486
    Unten links KachelX 35080 KachelY + 1 103017 -1.45996621 -1.24210497 -83.649902 -71.167372
    Unten rechts KachelX + 1 35081 KachelY + 1 103017 -1.45991828 -1.24210497 -83.647156 -71.167372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24208950--1.24210497) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24208950--1.24210497) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45996621--1.45991828) × cos(-1.24208950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32281936117826 × 6371000     		do = 98.5767754527571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45996621--1.45991828) × cos(-1.24210497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32280471939421 × 6371000     		du = 98.5723044078566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24208950)-sin(-1.24210497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32281936117826-0.32280471939421)×R²
    abs(-1.45991828--1.45996621)×1.46417840503621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46417840503621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46417840503621e-05×40589641000000     		ar = 9715.4445538739m²