Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3508 / 885
↖ ↑ ↗
← N 80.260827°
W 25.839844°		 ← 826.62 m → N 80.260827°
W 25.795898°		 →
↑
826.89 m
↓
↑
826.89 m
↓
N 80.253391°
W 25.839844°		 ← 827.24 m →
683 780 m²		 N 80.253391°
W 25.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42828369140625 y=0.10809326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42828369140625 × 213)
    floor (0.42828369140625 × 8192)
    floor (3508.5)     		tx = 3508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10809326171875 × 213)
    floor (0.10809326171875 × 8192)
    floor (885.5)     		ty = 885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3508 / 885 ti = "13/3508/885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3508/885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3508 ÷ 213
    3508 ÷ 8192     		x = 0.42822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 885 ÷ 213
    885 ÷ 8192     		y = 0.1080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45099035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1080322265625 × 2 - 1) × π
    0.783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46280615488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45099035} λ = -0.45099035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46280615488))-π/2
    2×atan(11.7377031819403)-π/2
    2×1.48580601481675-π/2
    2.97161202963351-1.57079632675     		φ = 1.40081570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45099035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40081570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.260827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3508 KachelY 885 -0.45099035 1.40081570 -25.839844 80.260827
    Oben rechts KachelX + 1 3509 KachelY 885 -0.45022336 1.40081570 -25.795898 80.260827
    Unten links KachelX 3508 KachelY + 1 886 -0.45099035 1.40068591 -25.839844 80.253391
    Unten rechts KachelX + 1 3509 KachelY + 1 886 -0.45022336 1.40068591 -25.795898 80.253391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40081570-1.40068591) × R
    0.00012979000000013 × 6371000     		dl = 826.892090000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40081570-1.40068591) × R
    0.00012979000000013 × 6371000     		dr = 826.892090000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45099035--0.45022336) × cos(1.40081570) × R
    0.000766989999999967 × 0.169163255099412 × 6371000     		do = 826.6151109578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45099035--0.45022336) × cos(1.40068591) × R
    0.000766989999999967 × 0.169291173146512 × 6371000     		du = 827.240181636622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40081570)-sin(1.40068591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169163255099412-0.169291173146512)×R²
    abs(-0.45022336--0.45099035)×0.000127918047099385×R²
    0.000766989999999967×0.000127918047099385×6371000²
    0.000766989999999967×0.000127918047099385×40589641000000     		ar = 683779.930685735m²