Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35079 / 103015
↖ ↑ ↗
← S 71.165599°
W 83.652649°		 ← 98.60 m → S 71.165599°
W 83.649902°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.166486°
W 83.652649°		 ← 98.60 m →
9 724 m²		 S 71.166486°
W 83.649902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267635345458984 y=0.785945892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267635345458984 × 217)
    floor (0.267635345458984 × 131072)
    floor (35079.5)     		tx = 35079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785945892333984 × 217)
    floor (0.785945892333984 × 131072)
    floor (103015.5)     		ty = 103015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35079 / 103015 ti = "17/35079/103015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35079/103015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35079 ÷ 217
    35079 ÷ 131072     		x = 0.267631530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103015 ÷ 217
    103015 ÷ 131072     		y = 0.785942077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267631530761719 × 2 - 1) × π
    -0.464736938476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46001415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785942077636719 × 2 - 1) × π
    -0.571884155273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79662706086008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46001415} λ = -1.46001415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79662706086008))-π/2
    2×atan(0.165857372648969)-π/2
    2×0.164361153018768-π/2
    0.328722306037537-1.57079632675     		φ = -1.24207402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46001415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.652649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24207402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.165599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35079 KachelY 103015 -1.46001415 -1.24207402 -83.652649 -71.165599
    Oben rechts KachelX + 1 35080 KachelY 103015 -1.45996621 -1.24207402 -83.649902 -71.165599
    Unten links KachelX 35079 KachelY + 1 103016 -1.46001415 -1.24208950 -83.652649 -71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 35080 KachelY + 1 103016 -1.45996621 -1.24208950 -83.649902 -71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24207402--1.24208950) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24207402--1.24208950) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46001415--1.45996621) × cos(-1.24207402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322834012349609 × 6371000     		do = 98.6018171189839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46001415--1.45996621) × cos(-1.24208950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 98.5973422741327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24207402)-sin(-1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322834012349609-0.32281936117826)×R²
    abs(-1.45996621--1.46001415)×1.46511713490782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46511713490782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46511713490782e-05×40589641000000     		ar = 9724.19423641765m²