Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35078 / 103038
↖ ↑ ↗
← S 71.185983°
W 83.655396°		 ← 98.50 m → S 71.185983°
W 83.652649°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.186868°
W 83.655396°		 ← 98.49 m →
9 695 m²		 S 71.186868°
W 83.652649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267627716064453 y=0.786121368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267627716064453 × 217)
    floor (0.267627716064453 × 131072)
    floor (35078.5)     		tx = 35078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786121368408203 × 217)
    floor (0.786121368408203 × 131072)
    floor (103038.5)     		ty = 103038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35078 / 103038 ti = "17/35078/103038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35078/103038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35078 ÷ 217
    35078 ÷ 131072     		x = 0.267623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103038 ÷ 217
    103038 ÷ 131072     		y = 0.786117553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267623901367188 × 2 - 1) × π
    -0.464752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46006209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786117553710938 × 2 - 1) × π
    -0.572235107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79772960955135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46006209} λ = -1.46006209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79772960955135))-π/2
    2×atan(0.16567460759202)-π/2
    2×0.164183275738815-π/2
    0.328366551477631-1.57079632675     		φ = -1.24242978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46006209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.655396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24242978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.185983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35078 KachelY 103038 -1.46006209 -1.24242978 -83.655396 -71.185983
    Oben rechts KachelX + 1 35079 KachelY 103038 -1.46001415 -1.24242978 -83.652649 -71.185983
    Unten links KachelX 35078 KachelY + 1 103039 -1.46006209 -1.24244523 -83.655396 -71.186868
    Unten rechts KachelX + 1 35079 KachelY + 1 103039 -1.46001415 -1.24244523 -83.652649 -71.186868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24242978--1.24244523) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24242978--1.24244523) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46006209--1.46001415) × cos(-1.24242978) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322497280883117 × 6371000     		do = 98.4989706621054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46006209--1.46001415) × cos(-1.24244523) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322482656332096 × 6371000     		du = 98.4945039477878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24242978)-sin(-1.24244523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322497280883117-0.322482656332096)×R²
    abs(-1.46001415--1.46006209)×1.46245510202481e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46245510202481e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46245510202481e-05×40589641000000     		ar = 9695.22592183046m²