Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35074 / 48898
↖ ↑ ↗
← S 65.950949°
E 12.667236°		 ← 248.91 m → S 65.950949°
E 12.672729°		 →
↑
248.91 m
↓
↑
248.91 m
↓
S 65.953188°
E 12.667236°		 ← 248.89 m →
61 954 m²		 S 65.953188°
E 12.672729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535194396972656 y=0.746131896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535194396972656 × 216)
    floor (0.535194396972656 × 65536)
    floor (35074.5)     		tx = 35074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746131896972656 × 216)
    floor (0.746131896972656 × 65536)
    floor (48898.5)     		ty = 48898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35074 / 48898 ti = "16/35074/48898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35074/48898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35074 ÷ 216
    35074 ÷ 65536     		x = 0.535186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48898 ÷ 216
    48898 ÷ 65536     		y = 0.746124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535186767578125 × 2 - 1) × π
    0.07037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22108498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746124267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54644438174301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22108498} λ = 0.22108498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54644438174301))-π/2
    2×atan(0.213003989853194)-π/2
    2×0.209867558347678-π/2
    0.419735116695356-1.57079632675     		φ = -1.15106121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22108498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.667236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15106121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.950949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35074 KachelY 48898 0.22108498 -1.15106121 12.667236 -65.950949
    Oben rechts KachelX + 1 35075 KachelY 48898 0.22118085 -1.15106121 12.672729 -65.950949
    Unten links KachelX 35074 KachelY + 1 48899 0.22108498 -1.15110028 12.667236 -65.953188
    Unten rechts KachelX + 1 35075 KachelY + 1 48899 0.22118085 -1.15110028 12.672729 -65.953188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15106121--1.15110028) × R
    3.90700000001409e-05 × 6371000     		dl = 248.914970000898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15106121--1.15110028) × R
    3.90700000001409e-05 × 6371000     		dr = 248.914970000898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22108498-0.22118085) × cos(-1.15106121) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.407518576832473 × 6371000     		do = 248.907362777146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22108498-0.22118085) × cos(-1.15110028) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.407482897917897 × 6371000     		du = 248.885570532476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15106121)-sin(-1.15110028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407518576832473-0.407482897917897)×R²
    abs(0.22118085-0.22108498)×3.56789145764536e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.56789145764536e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.56789145764536e-05×40589641000000     		ar = 61954.0565385439m²