Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35071 / 103397
↖ ↑ ↗
← S 71.501395°
W 83.674622°		 ← 96.91 m → S 71.501395°
W 83.671875°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 71.502266°
W 83.674622°		 ← 96.90 m →
9 384 m²		 S 71.502266°
W 83.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267574310302734 y=0.788860321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267574310302734 × 217)
    floor (0.267574310302734 × 131072)
    floor (35071.5)     		tx = 35071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788860321044922 × 217)
    floor (0.788860321044922 × 131072)
    floor (103397.5)     		ty = 103397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35071 / 103397 ti = "17/35071/103397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35071/103397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35071 ÷ 217
    35071 ÷ 131072     		x = 0.267570495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103397 ÷ 217
    103397 ÷ 131072     		y = 0.788856506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267570495605469 × 2 - 1) × π
    -0.464859008789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.46039765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788856506347656 × 2 - 1) × π
    -0.577713012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.81493895651495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46039765} λ = -1.46039765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81493895651495))-π/2
    2×atan(0.162847848887022)-π/2
    2×0.161430785675823-π/2
    0.322861571351647-1.57079632675     		φ = -1.24793476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46039765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.674622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24793476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.501395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35071 KachelY 103397 -1.46039765 -1.24793476 -83.674622 -71.501395
    Oben rechts KachelX + 1 35072 KachelY 103397 -1.46034971 -1.24793476 -83.671875 -71.501395
    Unten links KachelX 35071 KachelY + 1 103398 -1.46039765 -1.24794996 -83.674622 -71.502266
    Unten rechts KachelX + 1 35072 KachelY + 1 103398 -1.46034971 -1.24794996 -83.671875 -71.502266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24793476--1.24794996) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24793476--1.24794996) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46039765--1.46034971) × cos(-1.24793476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317281569538533 × 6371000     		do = 96.9059581646045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46039765--1.46034971) × cos(-1.24794996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317267154864911 × 6371000     		du = 96.9015555522464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24793476)-sin(-1.24794996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317281569538533-0.317267154864911)×R²
    abs(-1.46034971--1.46039765)×1.44146736225093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44146736225093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44146736225093e-05×40589641000000     		ar = 9384.08229130897m²