Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35070 / 103398
↖ ↑ ↗
← S 71.502266°
W 83.677368°		 ← 96.88 m → S 71.502266°
W 83.674622°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
S 71.503137°
W 83.677368°		 ← 96.88 m →
9 388 m²		 S 71.503137°
W 83.674622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267566680908203 y=0.788867950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267566680908203 × 217)
    floor (0.267566680908203 × 131072)
    floor (35070.5)     		tx = 35070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788867950439453 × 217)
    floor (0.788867950439453 × 131072)
    floor (103398.5)     		ty = 103398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35070 / 103398 ti = "17/35070/103398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35070/103398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35070 ÷ 217
    35070 ÷ 131072     		x = 0.267562866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103398 ÷ 217
    103398 ÷ 131072     		y = 0.788864135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267562866210938 × 2 - 1) × π
    -0.464874267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46044558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788864135742188 × 2 - 1) × π
    -0.577728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.81498689341457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46044558} λ = -1.46044558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81498689341457))-π/2
    2×atan(0.162840042653142)-π/2
    2×0.161423181101199-π/2
    0.322846362202397-1.57079632675     		φ = -1.24794996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46044558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.677368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24794996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.502266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35070 KachelY 103398 -1.46044558 -1.24794996 -83.677368 -71.502266
    Oben rechts KachelX + 1 35071 KachelY 103398 -1.46039765 -1.24794996 -83.674622 -71.502266
    Unten links KachelX 35070 KachelY + 1 103399 -1.46044558 -1.24796517 -83.677368 -71.503137
    Unten rechts KachelX + 1 35071 KachelY + 1 103399 -1.46039765 -1.24796517 -83.674622 -71.503137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24794996--1.24796517) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dl = 96.9029100009828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24794996--1.24796517) × R
    1.52100000001543e-05 × 6371000     		dr = 96.9029100009828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46044558--1.46039765) × cos(-1.24794996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317267154864911 × 6371000     		do = 96.8813424619329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46044558--1.46039765) × cos(-1.24796517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317252730634577 × 6371000     		du = 96.8769378496768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24794996)-sin(-1.24796517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317267154864911-0.317252730634577)×R²
    abs(-1.46039765--1.46044558)×1.44242303343201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44242303343201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44242303343201e-05×40589641000000     		ar = 9387.8705996982m²