Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35069 / 103381
↖ ↑ ↗
← S 71.487446°
W 83.680115°		 ← 96.98 m → S 71.487446°
W 83.677368°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.488319°
W 83.680115°		 ← 96.97 m →
9 409 m²		 S 71.488319°
W 83.677368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267559051513672 y=0.788738250732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267559051513672 × 217)
    floor (0.267559051513672 × 131072)
    floor (35069.5)     		tx = 35069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788738250732422 × 217)
    floor (0.788738250732422 × 131072)
    floor (103381.5)     		ty = 103381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35069 / 103381 ti = "17/35069/103381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35069/103381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35069 ÷ 217
    35069 ÷ 131072     		x = 0.267555236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103381 ÷ 217
    103381 ÷ 131072     		y = 0.788734436035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267555236816406 × 2 - 1) × π
    -0.464889526367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.46049352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788734436035156 × 2 - 1) × π
    -0.577468872070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.81417196612103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46049352} λ = -1.46049352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81417196612103))-π/2
    2×atan(0.162972799534637)-π/2
    2×0.161552505896189-π/2
    0.323105011792378-1.57079632675     		φ = -1.24769131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46049352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.680115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24769131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.487446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35069 KachelY 103381 -1.46049352 -1.24769131 -83.680115 -71.487446
    Oben rechts KachelX + 1 35070 KachelY 103381 -1.46044558 -1.24769131 -83.677368 -71.487446
    Unten links KachelX 35069 KachelY + 1 103382 -1.46049352 -1.24770654 -83.680115 -71.488319
    Unten rechts KachelX + 1 35070 KachelY + 1 103382 -1.46044558 -1.24770654 -83.677368 -71.488319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24769131--1.24770654) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24769131--1.24770654) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46049352--1.46044558) × cos(-1.24769131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317512431408322 × 6371000     		do = 96.9764693220225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46049352--1.46044558) × cos(-1.24770654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317497989461413 × 6371000     		du = 96.9720583797008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24769131)-sin(-1.24770654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317512431408322-0.317497989461413)×R²
    abs(-1.46044558--1.46049352)×1.44419469088608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44419469088608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44419469088608e-05×40589641000000     		ar = 9409.44482319704m²