Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35062 / 47924
↖ ↑ ↗
← S 63.675506°
E 12.601319°		 ← 270.86 m → S 63.675506°
E 12.606812°		 →
↑
270.83 m
↓
↑
270.83 m
↓
S 63.677941°
E 12.601319°		 ← 270.83 m →
73 353 m²		 S 63.677941°
E 12.606812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535011291503906 y=0.731269836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535011291503906 × 216)
    floor (0.535011291503906 × 65536)
    floor (35062.5)     		tx = 35062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731269836425781 × 216)
    floor (0.731269836425781 × 65536)
    floor (47924.5)     		ty = 47924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35062 / 47924 ti = "16/35062/47924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35062/47924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35062 ÷ 216
    35062 ÷ 65536     		x = 0.535003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47924 ÷ 216
    47924 ÷ 65536     		y = 0.73126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.535003662109375 × 2 - 1) × π
    0.07000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21993450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4625244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45306330128314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21993450} λ = 0.21993450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45306330128314))-π/2
    2×atan(0.233852828088413)-π/2
    2×0.229724548135243-π/2
    0.459449096270485-1.57079632675     		φ = -1.11134723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21993450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.601319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11134723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.675506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35062 KachelY 47924 0.21993450 -1.11134723 12.601319 -63.675506
    Oben rechts KachelX + 1 35063 KachelY 47924 0.22003037 -1.11134723 12.606812 -63.675506
    Unten links KachelX 35062 KachelY + 1 47925 0.21993450 -1.11138974 12.601319 -63.677941
    Unten rechts KachelX + 1 35063 KachelY + 1 47925 0.22003037 -1.11138974 12.606812 -63.677941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11134723--1.11138974) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dl = 270.831209999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11134723--1.11138974) × R
    4.25099999998846e-05 × 6371000     		dr = 270.831209999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21993450-0.22003037) × cos(-1.11134723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443454401429794 × 6371000     		do = 270.856524945983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21993450-0.22003037) × cos(-1.11138974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443416299446459 × 6371000     		du = 270.833252720549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11134723)-sin(-1.11138974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443454401429794-0.443416299446459)×R²
    abs(0.22003037-0.21993450)×3.81019833349261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81019833349261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81019833349261e-05×40589641000000     		ar = 73353.248976156m²