Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35060 / 103347
↖ ↑ ↗
← S 71.457773°
W 83.704834°		 ← 97.11 m → S 71.457773°
W 83.702088°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 71.458646°
W 83.704834°		 ← 97.10 m →
9 428 m²		 S 71.458646°
W 83.702088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267490386962891 y=0.788478851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267490386962891 × 217)
    floor (0.267490386962891 × 131072)
    floor (35060.5)     		tx = 35060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788478851318359 × 217)
    floor (0.788478851318359 × 131072)
    floor (103347.5)     		ty = 103347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35060 / 103347 ti = "17/35060/103347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35060/103347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35060 ÷ 217
    35060 ÷ 131072     		x = 0.267486572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103347 ÷ 217
    103347 ÷ 131072     		y = 0.788475036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267486572265625 × 2 - 1) × π
    -0.46502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46092495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788475036621094 × 2 - 1) × π
    -0.576950073242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.81254211153394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46092495} λ = -1.46092495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81254211153394))-π/2
    2×atan(0.163238638079766)-π/2
    2×0.161811455481013-π/2
    0.323622910962026-1.57079632675     		φ = -1.24717342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46092495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.704834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24717342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.457773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35060 KachelY 103347 -1.46092495 -1.24717342 -83.704834 -71.457773
    Oben rechts KachelX + 1 35061 KachelY 103347 -1.46087702 -1.24717342 -83.702088 -71.457773
    Unten links KachelX 35060 KachelY + 1 103348 -1.46092495 -1.24718866 -83.704834 -71.458646
    Unten rechts KachelX + 1 35061 KachelY + 1 103348 -1.46087702 -1.24718866 -83.702088 -71.458646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24717342--1.24718866) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24717342--1.24718866) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46092495--1.46087702) × cos(-1.24717342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.31800348012705 × 6371000     		do = 97.10618823872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46092495--1.46087702) × cos(-1.24718866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317989031205445 × 6371000     		du = 97.1017760866874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24717342)-sin(-1.24718866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31800348012705-0.317989031205445)×R²
    abs(-1.46087702--1.46092495)×1.44489216049037e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44489216049037e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44489216049037e-05×40589641000000     		ar = 9428.21792856655m²