Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35059 / 103348
↖ ↑ ↗
← S 71.458646°
W 83.707581°		 ← 97.12 m → S 71.458646°
W 83.704834°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 71.459520°
W 83.707581°		 ← 97.12 m →
9 430 m²		 S 71.459520°
W 83.704834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267482757568359 y=0.788486480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267482757568359 × 217)
    floor (0.267482757568359 × 131072)
    floor (35059.5)     		tx = 35059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788486480712891 × 217)
    floor (0.788486480712891 × 131072)
    floor (103348.5)     		ty = 103348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35059 / 103348 ti = "17/35059/103348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35059/103348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35059 ÷ 217
    35059 ÷ 131072     		x = 0.267478942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103348 ÷ 217
    103348 ÷ 131072     		y = 0.788482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267478942871094 × 2 - 1) × π
    -0.465042114257812 × 3.1415926535     		Λ = -1.46097289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.57696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81259004843356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46097289} λ = -1.46097289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81259004843356))-π/2
    2×atan(0.163230813113112)-π/2
    2×0.161803833603669-π/2
    0.323607667207337-1.57079632675     		φ = -1.24718866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46097289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.707581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24718866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.458646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35059 KachelY 103348 -1.46097289 -1.24718866 -83.707581 -71.458646
    Oben rechts KachelX + 1 35060 KachelY 103348 -1.46092495 -1.24718866 -83.704834 -71.458646
    Unten links KachelX 35059 KachelY + 1 103349 -1.46097289 -1.24720390 -83.707581 -71.459520
    Unten rechts KachelX + 1 35060 KachelY + 1 103349 -1.46092495 -1.24720390 -83.704834 -71.459520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24718866--1.24720390) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24718866--1.24720390) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46097289--1.46092495) × cos(-1.24718866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317989031205445 × 6371000     		do = 97.1220351677424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46097289--1.46092495) × cos(-1.24720390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.317974582209984 × 6371000     		du = 97.1176220726116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24718866)-sin(-1.24720390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317989031205445-0.317974582209984)×R²
    abs(-1.46092495--1.46097289)×1.44489954603255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44489954603255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44489954603255e-05×40589641000000     		ar = 9429.75652502218m²