Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35057 / 103343
↖ ↑ ↗
← S 71.454279°
W 83.713074°		 ← 97.12 m → S 71.454279°
W 83.710327°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 71.455153°
W 83.713074°		 ← 97.12 m →
9 436 m²		 S 71.455153°
W 83.710327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267467498779297 y=0.788448333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267467498779297 × 217)
    floor (0.267467498779297 × 131072)
    floor (35057.5)     		tx = 35057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788448333740234 × 217)
    floor (0.788448333740234 × 131072)
    floor (103343.5)     		ty = 103343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35057 / 103343 ti = "17/35057/103343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35057/103343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35057 ÷ 217
    35057 ÷ 131072     		x = 0.267463684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103343 ÷ 217
    103343 ÷ 131072     		y = 0.788444519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267463684082031 × 2 - 1) × π
    -0.465072631835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.46106876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788444519042969 × 2 - 1) × π
    -0.576889038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.81235036393546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46106876} λ = -1.46106876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81235036393546))-π/2
    2×atan(0.163269941697698)-π/2
    2×0.161841946454637-π/2
    0.323683892909274-1.57079632675     		φ = -1.24711243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46106876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.713074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24711243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.454279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35057 KachelY 103343 -1.46106876 -1.24711243 -83.713074 -71.454279
    Oben rechts KachelX + 1 35058 KachelY 103343 -1.46102083 -1.24711243 -83.710327 -71.454279
    Unten links KachelX 35057 KachelY + 1 103344 -1.46106876 -1.24712768 -83.713074 -71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 35058 KachelY + 1 103344 -1.46102083 -1.24712768 -83.710327 -71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24711243--1.24712768) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dl = 97.157749999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24711243--1.24712768) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dr = 97.157749999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46106876--1.46102083) × cos(-1.24711243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318061303516953 × 6371000     		do = 97.1238453064424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46106876--1.46102083) × cos(-1.24712768) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 97.1194303496139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24711243)-sin(-1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318061303516953-0.318046845410199)×R²
    abs(-1.46102083--1.46106876)×1.44581067544336e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44581067544336e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44581067544336e-05×40589641000000     		ar = 9436.11980773929m²