Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35056 / 103060
↖ ↑ ↗
← S 71.205460°
W 83.715820°		 ← 98.40 m → S 71.205460°
W 83.713074°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.206345°
W 83.715820°		 ← 98.40 m →
9 679 m²		 S 71.206345°
W 83.713074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267459869384766 y=0.786289215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267459869384766 × 217)
    floor (0.267459869384766 × 131072)
    floor (35056.5)     		tx = 35056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786289215087891 × 217)
    floor (0.786289215087891 × 131072)
    floor (103060.5)     		ty = 103060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35056 / 103060 ti = "17/35056/103060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35056/103060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35056 ÷ 217
    35056 ÷ 131072     		x = 0.2674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103060 ÷ 217
    103060 ÷ 131072     		y = 0.786285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46111670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.57257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79878422134299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46111670} λ = -1.46111670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79878422134299))-π/2
    2×atan(0.165499977297048)-π/2
    2×0.164013305873697-π/2
    0.328026611747394-1.57079632675     		φ = -1.24276972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46111670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.715820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24276972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.205460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35056 KachelY 103060 -1.46111670 -1.24276972 -83.715820 -71.205460
    Oben rechts KachelX + 1 35057 KachelY 103060 -1.46106876 -1.24276972 -83.713074 -71.205460
    Unten links KachelX 35056 KachelY + 1 103061 -1.46111670 -1.24278516 -83.715820 -71.206345
    Unten rechts KachelX + 1 35057 KachelY + 1 103061 -1.46106876 -1.24278516 -83.713074 -71.206345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24276972--1.24278516) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24276972--1.24278516) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46111670--1.46106876) × cos(-1.24276972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322175485117066 × 6371000     		do = 98.4006859516742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46111670--1.46106876) × cos(-1.24278516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322160868339999 × 6371000     		du = 98.3962216117222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24276972)-sin(-1.24278516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322175485117066-0.322160868339999)×R²
    abs(-1.46106876--1.46111670)×1.46167770665451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46167770665451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46167770665451e-05×40589641000000     		ar = 9679.28271745536m²