Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35054 / 103374
↖ ↑ ↗
← S 71.481341°
W 83.721313°		 ← 96.99 m → S 71.481341°
W 83.718567°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 71.482213°
W 83.721313°		 ← 96.98 m →
9 410 m²		 S 71.482213°
W 83.718567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267444610595703 y=0.788684844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267444610595703 × 217)
    floor (0.267444610595703 × 131072)
    floor (35054.5)     		tx = 35054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788684844970703 × 217)
    floor (0.788684844970703 × 131072)
    floor (103374.5)     		ty = 103374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35054 / 103374 ti = "17/35054/103374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35054/103374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35054 ÷ 217
    35054 ÷ 131072     		x = 0.267440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103374 ÷ 217
    103374 ÷ 131072     		y = 0.788681030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.465118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46121257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788681030273438 × 2 - 1) × π
    -0.577362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81383640782368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46121257} λ = -1.46121257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81383640782368))-π/2
    2×atan(0.163027495586105)-π/2
    2×0.161605786337049-π/2
    0.323211572674098-1.57079632675     		φ = -1.24758475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46121257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.721313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24758475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.481341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35054 KachelY 103374 -1.46121257 -1.24758475 -83.721313 -71.481341
    Oben rechts KachelX + 1 35055 KachelY 103374 -1.46116464 -1.24758475 -83.718567 -71.481341
    Unten links KachelX 35054 KachelY + 1 103375 -1.46121257 -1.24759998 -83.721313 -71.482213
    Unten rechts KachelX + 1 35055 KachelY + 1 103375 -1.46116464 -1.24759998 -83.718567 -71.482213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24758475--1.24759998) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24758475--1.24759998) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46121257--1.46116464) × cos(-1.24758475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317613475563341 × 6371000     		do = 96.9870956534367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46121257--1.46116464) × cos(-1.24759998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317599034131797 × 6371000     		du = 96.982685788584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24758475)-sin(-1.24759998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317613475563341-0.317599034131797)×R²
    abs(-1.46116464--1.46121257)×1.44414315448871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44414315448871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44414315448871e-05×40589641000000     		ar = 9410.47595199469m²