Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35054 / 103062
↖ ↑ ↗
← S 71.207229°
W 83.721313°		 ← 98.37 m → S 71.207229°
W 83.718567°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.208114°
W 83.721313°		 ← 98.37 m →
9 676 m²		 S 71.208114°
W 83.718567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267444610595703 y=0.786304473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267444610595703 × 217)
    floor (0.267444610595703 × 131072)
    floor (35054.5)     		tx = 35054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786304473876953 × 217)
    floor (0.786304473876953 × 131072)
    floor (103062.5)     		ty = 103062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35054 / 103062 ti = "17/35054/103062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35054/103062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35054 ÷ 217
    35054 ÷ 131072     		x = 0.267440795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103062 ÷ 217
    103062 ÷ 131072     		y = 0.786300659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267440795898438 × 2 - 1) × π
    -0.465118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46121257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786300659179688 × 2 - 1) × π
    -0.572601318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79888009514223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46121257} λ = -1.46121257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79888009514223))-π/2
    2×atan(0.165484110946046)-π/2
    2×0.16399786248043-π/2
    0.32799572496086-1.57079632675     		φ = -1.24280060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46121257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.721313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24280060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.207229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35054 KachelY 103062 -1.46121257 -1.24280060 -83.721313 -71.207229
    Oben rechts KachelX + 1 35055 KachelY 103062 -1.46116464 -1.24280060 -83.718567 -71.207229
    Unten links KachelX 35054 KachelY + 1 103063 -1.46121257 -1.24281604 -83.721313 -71.208114
    Unten rechts KachelX + 1 35055 KachelY + 1 103063 -1.46116464 -1.24281604 -83.718567 -71.208114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24280060--1.24281604) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24280060--1.24281604) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46121257--1.46116464) × cos(-1.24280060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322146251486131 × 6371000     		do = 98.3712333107557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46121257--1.46116464) × cos(-1.24281604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322131634555466 × 6371000     		du = 98.3667698551354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24280060)-sin(-1.24281604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322146251486131-0.322131634555466)×R²
    abs(-1.46116464--1.46121257)×1.46169306652344e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46169306652344e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46169306652344e-05×40589641000000     		ar = 9676.38555640121m²