Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35053 / 47860
↖ ↑ ↗
← S 63.519175°
E 12.551880°		 ← 272.38 m → S 63.519175°
E 12.557373°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
S 63.521624°
E 12.551880°		 ← 272.35 m →
74 164 m²		 S 63.521624°
E 12.557373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534873962402344 y=0.730293273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534873962402344 × 216)
    floor (0.534873962402344 × 65536)
    floor (35053.5)     		tx = 35053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730293273925781 × 216)
    floor (0.730293273925781 × 65536)
    floor (47860.5)     		ty = 47860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35053 / 47860 ti = "16/35053/47860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35053/47860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35053 ÷ 216
    35053 ÷ 65536     		x = 0.534866333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47860 ÷ 216
    47860 ÷ 65536     		y = 0.73028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534866333007812 × 2 - 1) × π
    0.069732666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21907163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.4605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44692737813177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21907163} λ = 0.21907163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44692737813177))-π/2
    2×atan(0.235292142315245)-π/2
    2×0.231088795487223-π/2
    0.462177590974445-1.57079632675     		φ = -1.10861874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21907163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.551880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10861874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.519175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35053 KachelY 47860 0.21907163 -1.10861874 12.551880 -63.519175
    Oben rechts KachelX + 1 35054 KachelY 47860 0.21916751 -1.10861874 12.557373 -63.519175
    Unten links KachelX 35053 KachelY + 1 47861 0.21907163 -1.10866148 12.551880 -63.521624
    Unten rechts KachelX + 1 35054 KachelY + 1 47861 0.21916751 -1.10866148 12.557373 -63.521624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10861874--1.10866148) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dl = 272.296540000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10861874--1.10866148) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dr = 272.296540000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21907163-0.21916751) × cos(-1.10861874) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.445898284934728 × 6371000     		do = 272.377627281898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21907163-0.21916751) × cos(-1.10866148) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.445860028652777 × 6371000     		du = 272.354258375449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10861874)-sin(-1.10866148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445898284934728-0.445860028652777)×R²
    abs(0.21916751-0.21907163)×3.82562819508103e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.82562819508103e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.82562819508103e-05×40589641000000     		ar = 74164.3038572595m²