Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35051 / 103405
↖ ↑ ↗
← S 71.508365°
W 83.729553°		 ← 96.85 m → S 71.508365°
W 83.726807°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 71.509236°
W 83.729553°		 ← 96.85 m →
9 379 m²		 S 71.509236°
W 83.726807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267421722412109 y=0.788921356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267421722412109 × 217)
    floor (0.267421722412109 × 131072)
    floor (35051.5)     		tx = 35051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788921356201172 × 217)
    floor (0.788921356201172 × 131072)
    floor (103405.5)     		ty = 103405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35051 / 103405 ti = "17/35051/103405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35051/103405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35051 ÷ 217
    35051 ÷ 131072     		x = 0.267417907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103405 ÷ 217
    103405 ÷ 131072     		y = 0.788917541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267417907714844 × 2 - 1) × π
    -0.465164184570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.46135638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788917541503906 × 2 - 1) × π
    -0.577835083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.81532245171191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46135638} λ = -1.46135638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81532245171191))-π/2
    2×atan(0.162785409492508)-π/2
    2×0.161369958757597-π/2
    0.322739917515194-1.57079632675     		φ = -1.24805641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46135638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.729553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24805641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.508365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35051 KachelY 103405 -1.46135638 -1.24805641 -83.729553 -71.508365
    Oben rechts KachelX + 1 35052 KachelY 103405 -1.46130845 -1.24805641 -83.726807 -71.508365
    Unten links KachelX 35051 KachelY + 1 103406 -1.46135638 -1.24807161 -83.729553 -71.509236
    Unten rechts KachelX + 1 35052 KachelY + 1 103406 -1.46130845 -1.24807161 -83.726807 -71.509236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24805641--1.24807161) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24805641--1.24807161) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46135638--1.46130845) × cos(-1.24805641) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317166202678802 × 6371000     		do = 96.8505154974498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46135638--1.46130845) × cos(-1.24807161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317151787418621 × 6371000     		du = 96.8461136243378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24805641)-sin(-1.24807161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317166202678802-0.317151787418621)×R²
    abs(-1.46130845--1.46135638)×1.44152601815328e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44152601815328e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44152601815328e-05×40589641000000     		ar = 9378.71330357115m²