Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35050 / 103036
↖ ↑ ↗
← S 71.184211°
W 83.732300°		 ← 98.51 m → S 71.184211°
W 83.729553°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.185097°
W 83.732300°		 ← 98.50 m →
9 709 m²		 S 71.185097°
W 83.729553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267414093017578 y=0.786106109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267414093017578 × 217)
    floor (0.267414093017578 × 131072)
    floor (35050.5)     		tx = 35050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786106109619141 × 217)
    floor (0.786106109619141 × 131072)
    floor (103036.5)     		ty = 103036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35050 / 103036 ti = "17/35050/103036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35050/103036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35050 ÷ 217
    35050 ÷ 131072     		x = 0.267410278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103036 ÷ 217
    103036 ÷ 131072     		y = 0.786102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267410278320312 × 2 - 1) × π
    -0.465179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46140432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786102294921875 × 2 - 1) × π
    -0.57220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79763373575211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46140432} λ = -1.46140432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79763373575211))-π/2
    2×atan(0.165690492207535)-π/2
    2×0.164198735960314-π/2
    0.328397471920627-1.57079632675     		φ = -1.24239885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46140432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.732300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24239885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.184211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35050 KachelY 103036 -1.46140432 -1.24239885 -83.732300 -71.184211
    Oben rechts KachelX + 1 35051 KachelY 103036 -1.46135638 -1.24239885 -83.729553 -71.184211
    Unten links KachelX 35050 KachelY + 1 103037 -1.46140432 -1.24241432 -83.732300 -71.185097
    Unten rechts KachelX + 1 35051 KachelY + 1 103037 -1.46135638 -1.24241432 -83.729553 -71.185097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24239885--1.24241432) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24239885--1.24241432) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46140432--1.46135638) × cos(-1.24239885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322526558151023 × 6371000     		do = 98.5079126928648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46140432--1.46135638) × cos(-1.24241432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32251191482281 × 6371000     		du = 98.5034402435091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24239885)-sin(-1.24241432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322526558151023-0.32251191482281)×R²
    abs(-1.46135638--1.46140432)×1.46433282134373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46433282134373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46433282134373e-05×40589641000000     		ar = 9708.65741427191m²