Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3505 / 1823
↖ ↑ ↗
← N 70.155288°
W 25.971680°		 ← 1 658.83 m → N 70.155288°
W 25.927734°		 →
↑
1 659.39 m
↓
↑
1 659.39 m
↓
N 70.140365°
W 25.971680°		 ← 1 660.03 m →
2 753 637 m²		 N 70.140365°
W 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42791748046875 y=0.22259521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42791748046875 × 213)
    floor (0.42791748046875 × 8192)
    floor (3505.5)     		tx = 3505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22259521484375 × 213)
    floor (0.22259521484375 × 8192)
    floor (1823.5)     		ty = 1823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3505 / 1823 ti = "13/3505/1823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3505/1823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3505 ÷ 213
    3505 ÷ 8192     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1823 ÷ 213
    1823 ÷ 8192     		y = 0.2225341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2225341796875 × 2 - 1) × π
    0.554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7433691653822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7433691653822))-π/2
    2×atan(5.716571087305)-π/2
    2×1.3976185438106-π/2
    2.79523708762119-1.57079632675     		φ = 1.22444076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22444076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.155288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3505 KachelY 1823 -0.45329132 1.22444076 -25.971680 70.155288
    Oben rechts KachelX + 1 3506 KachelY 1823 -0.45252433 1.22444076 -25.927734 70.155288
    Unten links KachelX 3505 KachelY + 1 1824 -0.45329132 1.22418030 -25.971680 70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 3506 KachelY + 1 1824 -0.45252433 1.22418030 -25.927734 70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22444076-1.22418030) × R
    0.000260460000000018 × 6371000     		dl = 1659.39066000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22444076-1.22418030) × R
    0.000260460000000018 × 6371000     		dr = 1659.39066000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45252433) × cos(1.22444076) × R
    0.000766990000000023 × 0.339472056763622 × 6371000     		do = 1658.82792751799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45252433) × cos(1.22418030) × R
    0.000766990000000023 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 1660.02502730076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22444076)-sin(1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339472056763622-0.339717038125863)×R²
    abs(-0.45252433--0.45329132)×0.000244981362241103×R²
    0.000766990000000023×0.000244981362241103×6371000²
    0.000766990000000023×0.000244981362241103×40589641000000     		ar = 2753636.813136m²