Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35045 / 103029
↖ ↑ ↗
← S 71.178009°
W 83.746033°		 ← 98.54 m → S 71.178009°
W 83.743286°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.178895°
W 83.746033°		 ← 98.53 m →
9 712 m²		 S 71.178895°
W 83.743286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267375946044922 y=0.786052703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267375946044922 × 217)
    floor (0.267375946044922 × 131072)
    floor (35045.5)     		tx = 35045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786052703857422 × 217)
    floor (0.786052703857422 × 131072)
    floor (103029.5)     		ty = 103029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35045 / 103029 ti = "17/35045/103029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35045/103029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35045 ÷ 217
    35045 ÷ 131072     		x = 0.267372131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103029 ÷ 217
    103029 ÷ 131072     		y = 0.786048889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267372131347656 × 2 - 1) × π
    -0.465255737304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.46164401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786048889160156 × 2 - 1) × π
    -0.572097778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79729817745477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46164401} λ = -1.46164401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79729817745477))-π/2
    2×atan(0.165746100356352)-π/2
    2×0.164252857785584-π/2
    0.328505715571168-1.57079632675     		φ = -1.24229061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46164401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.746033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24229061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.178009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35045 KachelY 103029 -1.46164401 -1.24229061 -83.746033 -71.178009
    Oben rechts KachelX + 1 35046 KachelY 103029 -1.46159607 -1.24229061 -83.743286 -71.178009
    Unten links KachelX 35045 KachelY + 1 103030 -1.46164401 -1.24230608 -83.746033 -71.178895
    Unten rechts KachelX + 1 35046 KachelY + 1 103030 -1.46159607 -1.24230608 -83.743286 -71.178895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24229061--1.24230608) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24229061--1.24230608) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46164401--1.46159607) × cos(-1.24229061) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322629011960801 × 6371000     		do = 98.5392047239884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46164401--1.46159607) × cos(-1.24230608) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		du = 98.5347324396039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24229061)-sin(-1.24230608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322629011960801-0.322614369172723)×R²
    abs(-1.46159607--1.46164401)×1.46427880781674e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46427880781674e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46427880781674e-05×40589641000000     		ar = 9711.74154546943m²