Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35041 / 103027
↖ ↑ ↗
← S 71.176237°
W 83.757019°		 ← 98.53 m → S 71.176237°
W 83.754273°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.177123°
W 83.757019°		 ← 98.52 m →
9 704 m²		 S 71.177123°
W 83.754273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267345428466797 y=0.786037445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267345428466797 × 217)
    floor (0.267345428466797 × 131072)
    floor (35041.5)     		tx = 35041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786037445068359 × 217)
    floor (0.786037445068359 × 131072)
    floor (103027.5)     		ty = 103027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35041 / 103027 ti = "17/35041/103027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35041/103027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35041 ÷ 217
    35041 ÷ 131072     		x = 0.267341613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103027 ÷ 217
    103027 ÷ 131072     		y = 0.786033630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267341613769531 × 2 - 1) × π
    -0.465316772460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.46183575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786033630371094 × 2 - 1) × π
    -0.572067260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79720230365553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46183575} λ = -1.46183575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79720230365553))-π/2
    2×atan(0.165761991826478)-π/2
    2×0.164268324321847-π/2
    0.328536648643694-1.57079632675     		φ = -1.24225968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46183575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.757019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24225968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.176237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35041 KachelY 103027 -1.46183575 -1.24225968 -83.757019 -71.176237
    Oben rechts KachelX + 1 35042 KachelY 103027 -1.46178782 -1.24225968 -83.754273 -71.176237
    Unten links KachelX 35041 KachelY + 1 103028 -1.46183575 -1.24227514 -83.757019 -71.177123
    Unten rechts KachelX + 1 35042 KachelY + 1 103028 -1.46178782 -1.24227514 -83.754273 -71.177123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24225968--1.24227514) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24225968--1.24227514) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46183575--1.46178782) × cos(-1.24225968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322658287840163 × 6371000     		do = 98.5275897712568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46183575--1.46178782) × cos(-1.24227514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322643654671667 × 6371000     		du = 98.5231213572197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24225968)-sin(-1.24227514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322658287840163-0.322643654671667)×R²
    abs(-1.46178782--1.46183575)×1.46331684955925e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46331684955925e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46331684955925e-05×40589641000000     		ar = 9704.31992304049m²