Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3504 / 846
↖ ↑ ↗
← N 80.546518°
W 26.015625°		 ← 802.59 m → N 80.546518°
W 25.971680°		 →
↑
802.94 m
↓
↑
802.94 m
↓
N 80.539297°
W 26.015625°		 ← 803.20 m →
644 674 m²		 N 80.539297°
W 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42779541015625 y=0.10333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42779541015625 × 213)
    floor (0.42779541015625 × 8192)
    floor (3504.5)     		tx = 3504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10333251953125 × 213)
    floor (0.10333251953125 × 8192)
    floor (846.5)     		ty = 846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3504 / 846 ti = "13/3504/846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3504/846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3504 ÷ 213
    3504 ÷ 8192     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 846 ÷ 213
    846 ÷ 8192     		y = 0.103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103271484375 × 2 - 1) × π
    0.79345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49271878024292))-π/2
    2×atan(12.0941126971567)-π/2
    2×1.48829913173151-π/2
    2.97659826346301-1.57079632675     		φ = 1.40580194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40580194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.546518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3504 KachelY 846 -0.45405831 1.40580194 -26.015625 80.546518
    Oben rechts KachelX + 1 3505 KachelY 846 -0.45329132 1.40580194 -25.971680 80.546518
    Unten links KachelX 3504 KachelY + 1 847 -0.45405831 1.40567591 -26.015625 80.539297
    Unten rechts KachelX + 1 3505 KachelY + 1 847 -0.45329132 1.40567591 -25.971680 80.539297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40580194-1.40567591) × R
    0.000126029999999888 × 6371000     		dl = 802.937129999288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40580194-1.40567591) × R
    0.000126029999999888 × 6371000     		dr = 802.937129999288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45329132) × cos(1.40580194) × R
    0.000766990000000023 × 0.164246794019347 × 6371000     		do = 802.590856879576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45329132) × cos(1.40567591) × R
    0.000766990000000023 × 0.164371111136126 × 6371000     		du = 803.198331636546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40580194)-sin(1.40567591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164246794019347-0.164371111136126)×R²
    abs(-0.45329132--0.45405831)×0.000124317116778544×R²
    0.000766990000000023×0.000124317116778544×6371000²
    0.000766990000000023×0.000124317116778544×40589641000000     		ar = 644673.882059297m²