Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35034 / 102871
↖ ↑ ↗
← S 71.037498°
W 83.776245°		 ← 99.23 m → S 71.037498°
W 83.773499°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
S 71.038391°
W 83.776245°		 ← 99.22 m →
9 849 m²		 S 71.038391°
W 83.773499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267292022705078 y=0.784847259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267292022705078 × 217)
    floor (0.267292022705078 × 131072)
    floor (35034.5)     		tx = 35034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784847259521484 × 217)
    floor (0.784847259521484 × 131072)
    floor (102871.5)     		ty = 102871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35034 / 102871 ti = "17/35034/102871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35034/102871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35034 ÷ 217
    35034 ÷ 131072     		x = 0.267288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102871 ÷ 217
    102871 ÷ 131072     		y = 0.784843444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267288208007812 × 2 - 1) × π
    -0.465423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46217131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784843444824219 × 2 - 1) × π
    -0.569686889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.7897241473148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46217131} λ = -1.46217131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7897241473148))-π/2
    2×atan(0.167006232431142)-π/2
    2×0.165479047522251-π/2
    0.330958095044502-1.57079632675     		φ = -1.23983823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46217131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.776245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23983823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.037498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35034 KachelY 102871 -1.46217131 -1.23983823 -83.776245 -71.037498
    Oben rechts KachelX + 1 35035 KachelY 102871 -1.46212338 -1.23983823 -83.773499 -71.037498
    Unten links KachelX 35034 KachelY + 1 102872 -1.46217131 -1.23985381 -83.776245 -71.038391
    Unten rechts KachelX + 1 35035 KachelY + 1 102872 -1.46212338 -1.23985381 -83.773499 -71.038391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23983823--1.23985381) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dl = 99.2601800008031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23983823--1.23985381) × R
    1.5580000000126e-05 × 6371000     		dr = 99.2601800008031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46217131--1.46212338) × cos(-1.23983823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324949279665816 × 6371000     		do = 99.2271716858522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46217131--1.46212338) × cos(-1.23985381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324934545130469 × 6371000     		du = 99.2226723182273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23983823)-sin(-1.23985381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324949279665816-0.324934545130469)×R²
    abs(-1.46212338--1.46217131)×1.47345353477268e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47345353477268e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47345353477268e-05×40589641000000     		ar = 9849.08361851897m²