Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35033 / 103061
↖ ↑ ↗
← S 71.206345°
W 83.778992°		 ← 98.40 m → S 71.206345°
W 83.776245°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.207229°
W 83.778992°		 ← 98.39 m →
9 679 m²		 S 71.207229°
W 83.776245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267284393310547 y=0.786296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267284393310547 × 217)
    floor (0.267284393310547 × 131072)
    floor (35033.5)     		tx = 35033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786296844482422 × 217)
    floor (0.786296844482422 × 131072)
    floor (103061.5)     		ty = 103061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35033 / 103061 ti = "17/35033/103061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35033/103061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35033 ÷ 217
    35033 ÷ 131072     		x = 0.267280578613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103061 ÷ 217
    103061 ÷ 131072     		y = 0.786293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267280578613281 × 2 - 1) × π
    -0.465438842773438 × 3.1415926535     		Λ = -1.46221925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.572586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79883215824261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46221925} λ = -1.46221925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79883215824261))-π/2
    2×atan(0.165492043931401)-π/2
    2×0.164005584001854-π/2
    0.328011168003708-1.57079632675     		φ = -1.24278516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46221925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.778992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24278516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.206345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35033 KachelY 103061 -1.46221925 -1.24278516 -83.778992 -71.206345
    Oben rechts KachelX + 1 35034 KachelY 103061 -1.46217131 -1.24278516 -83.776245 -71.206345
    Unten links KachelX 35033 KachelY + 1 103062 -1.46221925 -1.24280060 -83.778992 -71.207229
    Unten rechts KachelX + 1 35034 KachelY + 1 103062 -1.46217131 -1.24280060 -83.776245 -71.207229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24278516--1.24280060) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24278516--1.24280060) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46221925--1.46217131) × cos(-1.24278516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322160868339999 × 6371000     		do = 98.3962216117222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46221925--1.46217131) × cos(-1.24280060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322146251486131 × 6371000     		du = 98.3917572483132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24278516)-sin(-1.24280060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322160868339999-0.322146251486131)×R²
    abs(-1.46217131--1.46221925)×1.46168538678326e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46168538678326e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46168538678326e-05×40589641000000     		ar = 9678.84356691495m²