Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35032 / 102870
↖ ↑ ↗
← S 71.036605°
W 83.781739°		 ← 99.25 m → S 71.036605°
W 83.778992°		 →
↑
99.26 m
↓
↑
99.26 m
↓
S 71.037498°
W 83.781739°		 ← 99.25 m →
9 852 m²		 S 71.037498°
W 83.778992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267276763916016 y=0.784839630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267276763916016 × 217)
    floor (0.267276763916016 × 131072)
    floor (35032.5)     		tx = 35032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784839630126953 × 217)
    floor (0.784839630126953 × 131072)
    floor (102870.5)     		ty = 102870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35032 / 102870 ti = "17/35032/102870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35032/102870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35032 ÷ 217
    35032 ÷ 131072     		x = 0.26727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102870 ÷ 217
    102870 ÷ 131072     		y = 0.784835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4654541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46226719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784835815429688 × 2 - 1) × π
    -0.569671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78967621041518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46226719} λ = -1.46226719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78967621041518))-π/2
    2×atan(0.167014238384031)-π/2
    2×0.165486836229262-π/2
    0.330973672458525-1.57079632675     		φ = -1.23982265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46226719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.781739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23982265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.036605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35032 KachelY 102870 -1.46226719 -1.23982265 -83.781739 -71.036605
    Oben rechts KachelX + 1 35033 KachelY 102870 -1.46221925 -1.23982265 -83.778992 -71.036605
    Unten links KachelX 35032 KachelY + 1 102871 -1.46226719 -1.23983823 -83.781739 -71.037498
    Unten rechts KachelX + 1 35033 KachelY + 1 102871 -1.46221925 -1.23983823 -83.778992 -71.037498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23982265--1.23983823) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dl = 99.2601799993884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23982265--1.23983823) × R
    1.5579999999904e-05 × 6371000     		dr = 99.2601799993884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46226719--1.46221925) × cos(-1.23982265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324964014122287 × 6371000     		do = 99.2523744866049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46226719--1.46221925) × cos(-1.23983823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324949279665816 × 6371000     		du = 99.2478742043339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23982265)-sin(-1.23983823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324964014122287-0.324949279665816)×R²
    abs(-1.46221925--1.46226719)×1.47344564704333e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47344564704333e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47344564704333e-05×40589641000000     		ar = 9851.58520772859m²