Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35031 / 103399
↖ ↑ ↗
← S 71.503137°
W 83.784485°		 ← 96.88 m → S 71.503137°
W 83.781739°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
S 71.504009°
W 83.784485°		 ← 96.87 m →
9 387 m²		 S 71.504009°
W 83.781739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267269134521484 y=0.788875579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267269134521484 × 217)
    floor (0.267269134521484 × 131072)
    floor (35031.5)     		tx = 35031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788875579833984 × 217)
    floor (0.788875579833984 × 131072)
    floor (103399.5)     		ty = 103399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35031 / 103399 ti = "17/35031/103399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35031/103399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35031 ÷ 217
    35031 ÷ 131072     		x = 0.267265319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103399 ÷ 217
    103399 ÷ 131072     		y = 0.788871765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267265319824219 × 2 - 1) × π
    -0.465469360351562 × 3.1415926535     		Λ = -1.46231512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788871765136719 × 2 - 1) × π
    -0.577743530273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.81503483031419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46231512} λ = -1.46231512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81503483031419))-π/2
    2×atan(0.162832236793459)-π/2
    2×0.161415576872272-π/2
    0.322831153744544-1.57079632675     		φ = -1.24796517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46231512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.784485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24796517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.503137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35031 KachelY 103399 -1.46231512 -1.24796517 -83.784485 -71.503137
    Oben rechts KachelX + 1 35032 KachelY 103399 -1.46226719 -1.24796517 -83.781739 -71.503137
    Unten links KachelX 35031 KachelY + 1 103400 -1.46231512 -1.24798038 -83.784485 -71.504009
    Unten rechts KachelX + 1 35032 KachelY + 1 103400 -1.46226719 -1.24798038 -83.781739 -71.504009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24796517--1.24798038) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dl = 96.9029099995682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24796517--1.24798038) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dr = 96.9029099995682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46231512--1.46226719) × cos(-1.24796517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317252730634577 × 6371000     		do = 96.8769378496768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46231512--1.46226719) × cos(-1.24798038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317238306330848 × 6371000     		du = 96.8725332150089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24796517)-sin(-1.24798038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317252730634577-0.317238306330848)×R²
    abs(-1.46226719--1.46231512)×1.44243037286662e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44243037286662e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44243037286662e-05×40589641000000     		ar = 9387.44377873353m²