Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3503 / 851
↖ ↑ ↗
← N 80.510360°
W 26.059570°		 ← 805.63 m → N 80.510360°
W 26.015625°		 →
↑
806 m
↓
↑
806 m
↓
N 80.503112°
W 26.059570°		 ← 806.24 m →
649 582 m²		 N 80.503112°
W 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42767333984375 y=0.10394287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42767333984375 × 213)
    floor (0.42767333984375 × 8192)
    floor (3503.5)     		tx = 3503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10394287109375 × 213)
    floor (0.10394287109375 × 8192)
    floor (851.5)     		ty = 851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3503 / 851 ti = "13/3503/851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3503/851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3503 ÷ 213
    3503 ÷ 8192     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 851 ÷ 213
    851 ÷ 8192     		y = 0.1038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1038818359375 × 2 - 1) × π
    0.792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48888382827332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48888382827332))-π/2
    2×atan(12.0478211754628)-π/2
    2×1.48798359602389-π/2
    2.97596719204778-1.57079632675     		φ = 1.40517087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40517087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.510360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3503 KachelY 851 -0.45482530 1.40517087 -26.059570 80.510360
    Oben rechts KachelX + 1 3504 KachelY 851 -0.45405831 1.40517087 -26.015625 80.510360
    Unten links KachelX 3503 KachelY + 1 852 -0.45482530 1.40504436 -26.059570 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 3504 KachelY + 1 852 -0.45405831 1.40504436 -26.015625 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40517087-1.40504436) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dl = 805.995210000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40517087-1.40504436) × R
    0.00012651000000008 × 6371000     		dr = 805.995210000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45405831) × cos(1.40517087) × R
    0.000766989999999967 × 0.164869260885774 × 6371000     		do = 805.632537045562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45405831) × cos(1.40504436) × R
    0.000766989999999967 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 806.242261194897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40517087)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164869260885774-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.45405831--0.45482530)×0.000124777445327295×R²
    0.000766989999999967×0.000124777445327295×6371000²
    0.000766989999999967×0.000124777445327295×40589641000000     		ar = 649581.684118269m²