Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35026 / 48844
↖ ↑ ↗
← S 65.829781°
E 12.403565°		 ← 250.09 m → S 65.829781°
E 12.409057°		 →
↑
250.06 m
↓
↑
250.06 m
↓
S 65.832030°
E 12.403565°		 ← 250.06 m →
62 534 m²		 S 65.832030°
E 12.409057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534461975097656 y=0.745307922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534461975097656 × 216)
    floor (0.534461975097656 × 65536)
    floor (35026.5)     		tx = 35026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745307922363281 × 216)
    floor (0.745307922363281 × 65536)
    floor (48844.5)     		ty = 48844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35026 / 48844 ti = "16/35026/48844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35026/48844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35026 ÷ 216
    35026 ÷ 65536     		x = 0.534454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48844 ÷ 216
    48844 ÷ 65536     		y = 0.74530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534454345703125 × 2 - 1) × π
    0.06890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21648304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4906005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54126719658405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21648304} λ = 0.21648304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54126719658405))-π/2
    2×atan(0.214109610480096)-π/2
    2×0.210924954730244-π/2
    0.421849909460489-1.57079632675     		φ = -1.14894642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21648304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.403565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14894642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.829781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35026 KachelY 48844 0.21648304 -1.14894642 12.403565 -65.829781
    Oben rechts KachelX + 1 35027 KachelY 48844 0.21657891 -1.14894642 12.409057 -65.829781
    Unten links KachelX 35026 KachelY + 1 48845 0.21648304 -1.14898567 12.403565 -65.832030
    Unten rechts KachelX + 1 35027 KachelY + 1 48845 0.21657891 -1.14898567 12.409057 -65.832030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14894642--1.14898567) × R
    3.92500000001572e-05 × 6371000     		dl = 250.061750001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14894642--1.14898567) × R
    3.92500000001572e-05 × 6371000     		dr = 250.061750001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21648304-0.21657891) × cos(-1.14894642) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.40944888382162 × 6371000     		do = 250.086370678464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21648304-0.21657891) × cos(-1.14898567) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.409413074433652 × 6371000     		du = 250.064498742241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14894642)-sin(-1.14898567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40944888382162-0.409413074433652)×R²
    abs(0.21657891-0.21648304)×3.58093879688215e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.58093879688215e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.58093879688215e-05×40589641000000     		ar = 62534.3008438454m²